Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số lượng giác 11

1. Lý thuyết cần nắm về hàm số lượng giác

1.1. Hàm số sin (sinx)

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sinx

sin: R → R

x → y = sinx

Được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx.

- Tập xác định: R và $-1 \leq sinx \leq 1, \forall x \epsilon R$

+ y = sinx là hàm số lẻ

1.2. Hàm số cosin (cosx)

Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cosx

cos: R → R

x → y = cosx

Được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cosx

- Tập xác định: R và $-1 \leq cosx \leq 1, \forall x \epsilon R$

+ y = cosx là hàm số chẵn

1.3. Hàm số tan (tanx)

Định nghĩa:

Hàm số tan được xác định bởi công thức 

$y = \frac{sinx}{cosx} (cosx \neq 0)$

- Tập xác định: $D= \left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k \epsilon Z \right \}$

+ y = tanx là hàm số lẻ

1.4. Hàm số cot (cotx)

Định nghĩa:

Hàm số cotx là hàm số được xác định bởi công thức: $y = \frac{cosx}{sinx} (sinx \neq 0)$

- Tập xác định: $D= R \left \{ k\pi, k \epsilon Z \right \}$

+ y = cotx là hàm số lẻ

1.5. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác

• y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

• y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

• y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

• y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

2.1. Tìm tập xác định của hàm số

Ta có tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Lưu ý: Nếu P(x) là một đa thức thì:

Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Giải

2.2. Cách xác định hàm số lượng giác chẵn, lẻ

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

• Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x∈ D⇒ −x∈ D), thì thực hiện bước 2.

• Nếu D không là tập đối xứng(tức là ∃x ∈ D mà −x∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định f(-x), khi đó:

   Nếu f(−x)=f(x) ⇒ hàm số là hàm chẵn.

   Nếu f(−x)=−f(x) ⇒ hàm số là hàm lẻ.

Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx

Bài tập 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

1. y = cosx + sinx.

2. y = sin2x + cot100x

Giải:

2.3. Hàm số tuần hoàn và cách xác định chu kỳ tuần hoàn

Phương pháp chung

- Hàm số y= f(x) xác định trên tập hợp D nếu có số T ≠ 0 sao cho 

$\forall$x ∈ D 

$\Rightarrow$ x+T ∈ D; x-T ∈ D và f(x+T)= f(x).

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

- Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):

• y = k.sin(ax+b) có chu kì T= 2π/|a|

• y= k.cos(ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|

• y= k.tan( ax+ b) có chu kì là T= π/|a|

• y= k.cot (ax+ b ) có chu kì là: T= π/|a|

Bài tập 1: Hàm số y= 2tan ( 2x-100) có chu kì là?

Giải:

Ta có hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì: T= π/|a|

Áp dụng hàm số y= 2tan( 2x - 100) chu kì là: T= π/2

Bài tập 2: Tìm chu kì của hàm số y= 10π cos⁡(π/2-20 x)?

Giải:

Ta có hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì: T= 2π/|a| .

Chu kì của hàm số y = 20 π.cos⁡(π/2-20 x) là:

T= 2π/|-20| = π/10

Bài tập 3: Tìm chu kì của hàm số y= 2sin2x. Sin4x

Giải:

Ta có: y= 2. sin2x. sin4x = cos 6x+ cos2x

Chu kì của hàm số y = cos6x là T₁= 2π/6= π/3

Chu kì của hàm số y= cos2x là T₂= 2π/2= π

⇒ Vậy chu kì của hàm số đã cho là: T= π

2.4. Vẽ đồ thị hàm số và cách xác định các khoảng đồng biến nghịch biến

Phương pháp chung:

• Trường hợp hàm số đồng biến trên K ⇒ Đồ thị đi sẽ lên từ trái sang phải.

• Trường hợp hàm số nghịch biến trên K ⇒ Đồ thị sẽ đi xuống từ trái sang phải.

Chú ý:  Tập xác định của hàm số.

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau, hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;0).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0).

Bài tập 2: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau, hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Giải:

Vì f'(x) > 0, ∀ x ∈ (-∞;-1)∪(0;1) 

⇒ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;-1) và (0;1).

2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần:

+ Với $\forall$x ta có:-1 ≤ sinx ≤ 1; - 1 ≤ cosx ≤ 1

+ Với $\forall$x ta có: 0 ≤ |sinx| ≤ 1; 0 ≤ |cosx| ≤ 1

Bài tập:

Với $\forall$x ta có : - 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1

⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2

Đăng ký ngay để được tư vấn ôn tập kiến thức hiệu quả và phù hợp nhất với bản thân

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và bài tập hàm số lượng giác lớp 11 thường gặp. Để đạt kết quả cao ngoài việc tham khảo bài viết này các em hãy thực hành nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để tham khảo thêm các kiến thức khác thuộc chương trình Toán 11 cũng như các môn khác! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi mọi kì thi nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

Phương trình lượng giác thường gặp

Công thức lượng giác