Lý Thuyết Giới Hạn Của Hàm Số, Các Công Thức Tính Và Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 10:43 06/12/2023 251,139

Giới hạn của hàm số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết để từ đó ôn tập hiệu quả nhé!

Lý Thuyết Giới Hạn Của Hàm Số, Các Công Thức Tính Và Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết giới hạn của hàm số

1.1. Giới hạn của hàm số là gì?

Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định.

Bài 2 giới hạn của hàm số lý thuyết

Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.

Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.

Ký hiệu Toán học: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=L$

Ví dụ: $\underset{x\rightarrow 2}{lim} x^{2}=4$ do $x^{2}$ nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2.

1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm x₀. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ x₀

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới x₀ nếu với dãy x_n bất kì, $x_{n} \rightarrow x_{0}$ ta có $f(x_{n}) \rightarrow L$

Ký hiệu Toán học:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ hay f(x) = L khi

$x \rightarrow x_{0}$

1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

a, Cho y = f(x) xác định trên $(a;+\infty)$

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $+\infty$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n}>a$ và $x_{n} \rightarrow +\infty$ ta có $f(x_{n}) \rightarrow L$

Ký hiệu Toán học:

$\underset{x\rightarrow +\infty}{lim} f(x)=L$

hay f(x) = L khi $x \rightarrow +\infty$

b, Cho y = f(x) xác định trên $(-\infty;a)$

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $-\infty$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n}<a$ và $x_{n} \rightarrow -\infty$ ta có $f(x_{n}) \rightarrow L$

Ký hiệu Toán học:

$\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} f(x) = L$

hay f(x) = L khi $x \rightarrow -\infty$

Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là $+\infty$ khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là $-\infty$

1.4. Giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức $\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L$ có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f(x) khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a)\neq L$ và khi f(x) không xác định tại a.

Đăng ký ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1:

a, Giả sử $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}g(x)=M$ . Khi đó:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[f(x)+g(x)]=L+M$

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[f(x)-g(x)]=L-M$

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[f(x).g(x)]=L.M$

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{L}{M}(M\neq 0)$

b, Nếu $f(x)\geq 0$ và $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ thì: $L\geq 0$ và $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với $x\neq x_{0}$

Định lý 2:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ khi và chỉ khi $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=L$

3. Một số giới hạn đặc biệt

a, $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}x=x_{0}$

b, $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}c=c$

c, $\underset{x\rightarrow \pm \infty}{lim}c=c$

d, $\underset{x\rightarrow \pm \infty}{lim}\frac{c}{x}=0$ với c là hằng số

e, $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x^{k}=+\infty$ với k là số nguyên dương

f, $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x^{k}=-\infty$ nếu như k là số lẻ

g, $\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}x^{k}=+\infty$ nếu như k là số chẵn

4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính

Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:

a, $A=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(3x^{2}+x+1)$

b, $B=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x-1}$

c, $\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$

d, $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{3x+2}{x-1}$

Lời giải:

1. Với mọi dãy (x_n): limx_n = 1 ta có: $lim\frac{x_{n} + 1}{x_{n} - 2} = -2$

Vậy $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + 1}{x - 2} = -2$

2. Với mọi dãy (x_n): limx_n = 1 ta có:

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{3x + 2}{2x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{3x_{n} + 2}{2x_{n} - 1} = \frac{3.1 + 2}{2.1 - 1} = 5$

3. Với mọi dãy (x_n): limx_n = 0 ta có:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x_{n} + 4} - 2}{2x_{n}} = lim\frac{x_{n}}{2x_{n}(\sqrt{x_{n} + 4} + 2)$

$lim\frac{1}{2(\sqrt{x_{n} + 4} + 2)} = \frac{1}{8}$

4. Với mọi dãy (x_n): x_n > 1, $\forall$ n và limx_n = 1 ta có:

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{4x - 3}{x - 1} = lim \frac{4x_{n} - 3}{x_{n} - 1} = +\infty$

4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

Hàm số 0/0 là hàm số có dạng $A=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ với $f(x_{0})=g(x_{0})=0$

Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm $x=x_{0}$ , ta sẽ có $f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x)$
Nếu hàm f(x) và g(x) là đa thức thì ta sẽ phân tích như sau:

$f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x); g(x)=(x-x_{0}).g_{1}(x)$

Khi đó $A=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}$ , ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0

Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây:

a, $A=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$

b, $B=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-x}{\sqrt[2]{3x-2}-2}$

Lời giải:

a, $A=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$

Ta có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=0$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x-1-x^{2}}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{-(x-1)}{(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=0$

b, $B=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-x}{\sqrt[2]{3x-2}-2}$

Ta có:

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(3x+2-x^{3})(\sqrt{3x-2}+2)}{3(x-2)(\sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2\sqrt[3]{(3x+)}+4}=-1$

4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng

Phương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng $\infty/\infty$

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a, $A=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x(\sqrt{x^{2}+9}-x)$

b, $B=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\sqrt{x^{2}-x+1}-x$

Lời giải:

a, $A=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x(\sqrt{x^{2}+9}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x.\frac{x^{2}+9-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+9}+x}$

$=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}+1}}=\frac{9}{2}$

b, $B=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\sqrt{x^{2}-x+1}-x=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{-x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1+x}}=-\frac{1}{2}$

4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $\infty/\infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này

Ví dụ: Tìm giới hạn: $\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}\frac{1}{x}(\sqrt{4x^{2}+1}-x)$

Lời giải:

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ

5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x+1}{x-2}$
$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{3x+2}{2x-1}$
$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}$
$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{4x-3}{x-1}$

Lời giải:

Bài tập áp dụng tính giới hạn của hàm số lý thuyết

Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:

$f(x)=sin\frac{1}{x}$ khi x tiến tới 0
f(x) = cosx khi x tiến tới $+\infty$

Lời giải:

Hướng dẫn tìm giới hạn hàm số

Bài 3: Chứng minh $f(x)=cos\frac{1}{x^{2}}$ khi x tiến tới 0 không có giới hạn

Lời giải:

Cách tìm giới hạn của hàm số

Bài 4: Tìm giới hạn sau: $A=\underset{x\rightarrow \infty}{lim}(\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}}+\sqrt{x^{2}-2x})$

Lời giải:

Bài tập tìm giới hạn của hàm số lý thuyết

Bài 5: Tìm giới hạn sau: $N=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\sqrt{4x^{2}-x+1}+2x$

Lời giải:

$N=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{x+1}{2x-\sqrt{4x^{2}-x+1}}=\frac{1}{4}$

Bài 6: Tìm giới hạn: $M=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}x-\sqrt[3]{1-x^{3}$

Lời giải:

$M=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}x-\sqrt[3]{1-x^{3}}=-\infty$

Bài 7: Tìm giới hạn: $P=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} \sqrt{4x^{2}+1}-x$

Lời giải: $P=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} \sqrt{4x^{2}+1}-x=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} \frac{3x^{2}+1}{\sqrt{4x^{2}+1}+x}=-\infty$

Bài 8: Tính giới hạn: $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(x^{3}-1)\sqrt{\frac{x}{x^{2}-1}}$

Lời giải:

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}(x^{3} - 1)\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}}$

Bài 9: Tính: $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}(x+1)\sqrt{\frac{2x+1}{x^{3}+x^{2}+1}}$

Lời giải:

Tìm giới hạn của hàm số - bài tập áp dụng và cách giải

Bài 10: Tính $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(1-2x)\sqrt{\frac{3x-11}{x^{3}-1}}$

Lời giải:

Bài 2 giới hạn của hàm số - bài tập áp dụng và cách giải

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số thuộc chương trình Toán 11. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

Giới hạn của dãy số

Lý thuyết về cấp số nhân

Hàm số liên tục

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 môn lý có đáp án

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 môn lý có đáp án

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 môn toán Kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 môn toán Kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều