Logarit lớp 12 - lý thuyết và bài tập chọn lọc

Trước khi đi vào bài viết, các em đọc bảng dưới đây để có nhận định chung về logarit lớp 12 trong đề thi THPT Quốc gia nhé:

Lý thuyết chung về logarit lớp 12 đã được thầy cô VUIHOC tổng hợp lại thành file sau đây giúp các em dễ dàng hơn trong ôn tập và theo dõi bài giảng:

>>>Tải xuống file tổng hợp lý thuyết logarit lớp 12 đầy đủ và chi tiết<<<

1. Khái quát lý thuyết chung về logarit lớp 12

1.1. Logarit là gì? Các loại logarit trong chương trình log toán 12

Trong toán học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Tổng quát hơn, nếu $x=b^y$ thì $y$ được gọi là logarit cơ số $b$ của $x$ và được ký hiệu là $log_bx$.

Có 3 loại logarit lớp 12:

• Logarit thập phân: là logarit có cơ số 10, viết tắt là $log_{10}b=logb(=lgb)$ có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.

• Logarit tự nhiên: là logarit có cơ số là hằng số e, viết tắt là $ln(b)$, $log_e(b)$ có ứng dụng nhiều trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân.

• Logarit nhị phân: là logarit sử dụng cơ số 2, ký hiệu là $log_2b$ có ứng dụng trong khoa học máy tính, lập trình ngôn ngữ C

• Ngoài ra, ta còn 2 cách phân loại khác là logarit phức (là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức) và logarit rời rạc (ứng dụng trong mật mã hoá khoá công khai)

Tóm lại, công thức chung của logarit có dạng như sau: 

Logarit có công thức là logab trong đó $b>0$, $0<a\neq 1$

1.2. Bảng công thức logarit cơ bản

VUIHOC tổng hợp cho các em một số công thức loga cơ bản dùng để biến đổi các phép tính logarit. Ngoài ra, các công thức toán 12 này rất quan trọng vì nó cũng dùng để ứng dụng trong các phép biến đổi hàm log. 

• Công thức tích, thương, luỹ thừa và căn:

• Công thức đổi cơ số:

Logarit $log_bx$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian k của x và b theo công thức:

Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và e. Logarit cơ số b bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và thông thạo mọi dạng bài Toán 12

2. Dạng toán logarit lớp 12 cơ bản

2.1. Các dạng toán liên quan đến phương trình log toán 12

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số giải logarit lớp 12

Một lưu ý nhỏ cho các em đó là trong quá trình biến đổi để tìm ra cách giải các bài tập log toán 12, chúng ta thường quên việc kiểm soát miền xác định của phương trình. Vì vậy để cho an toàn thì ngoài phương trình logarit cơ bản, các bạn nên đặt điều kiện xác định cho phương trình trước khi biến đổi.

Phương pháp giải dạng bài log toán 12 này như sau:

• Trường hợp 1: $log_af(x)=b => f(x)=a^b$
• Trường hợp 2: $log_af(x)=log_ag(x)$ khi và chỉ khi $f(x)=g(x)$

Ta cùng xét ví dụ sau để rõ hơn về cách áp dụng công thức giải logarit lớp 12 bằng cách đưa về cùng cơ số:

Dạng 2: Giải phương trình logarit lớp 12 bằng cách đặt ẩn phụ

Ở cách giải bài tập log toán 12 này, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q[log_af(x)]=0$ -> Đặt $t=log_ax$ ($x$ thuộc $\mathbb{R}$)

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải logarit lớp 12 sau đây:

Dạng 3: Mũ hoá giải bài tập logarit lớp 12

Bản chất của việc giải phương trình logarit cơ bản (ở trên) cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta có thể thử áp dụng mũ hóa 2 vế để giải.

Phương trình $log_af(x)=log_bg(x)(a>0, a\neq 1)$

Ta đặt $log_af(x) = log_bg(x)=t$ => Hoặc $f(x)=a^t$ hoặc $g(x)=b^t$

=> Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.

Dạng 4: Cách giải bài toán logarit lớp 12 bằng đồ thị

Giải phương trình: $log_ax=f(x)$ $(0<a\neq 1)$ (Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $y=log_ax(0<a\neq 1)$) và $y=f(x)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:

• Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y=log_ax(0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$

• Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị

Ta có ví dụ minh hoạ về phương pháp giải bài tập log toán 12 này như sau:

2.2. Các dạng toán về bất phương trình logarit

Dạng 1: Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

Lý thuyết cần nhớ:

- Công thức để biến đổi bất phương trình logarit cơ bản về cùng cơ số là: 

• $logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x) (0< a\neq 1,f(x)>0; g(x)>0)$
• $logaf(x)>bf(x)>ab(0<a\neq 1; f(x)>0)$

- Đặc biệt: Đối với các phương trình hoặc bất phương trình Logarit, ta luôn phải nhớ đặt điều kiện để các biểu thức $log_af(x)$ có nghĩa. Cụ thể là $f(x)>0$.

Ví dụ 1: $log_3(2x+1)>log_35$

ĐK: $2x+1>0\Rightarrow x>-\frac{1}{2}$

Ta có: $log_3(2x+1)>log_35\Rightarrow 2x+1>5\Rightarrow 2x>4\Rightarrow x>2$ (TMĐK)

Ví dụ 2: $log_2(x-5)+log_2(x+2)>3$

ĐK: $x-5>0$, $x+2>0\Rightarrow x>5$

Ta có: $log_2(x-5)+log_2(x+2)>3\Rightarrow log_2(x-5)(x+2)>3\Rightarrow (x-5)(x+2)>2^3$

$\Leftrightarrow x^2-3x-18>0$

$\Leftrightarrow x<-3$ hoặc $x>6$

Kết hợp điều kiện: $x>6$.

Dạng 2: Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Lý thuyết cần nhớ:

- Với phương trình hoặc bất phương trình có dạng biểu thức logaf(x) thì ta có thể đặt ẩn phụ theo dạng $t=log_af(x)$.

- Luôn phải đặt điều kiện để biểu thức $log_af(x)$ có nghĩa là $f(x)>0$.

- Lưu ý khi giải bất phương trình Logarit ta cần chú ý đặc điểm của bất phương trình đang xét (có chứa dấu căn hay không, có ẩn ở mẫu hay không…) để đưa ra điều kiện phù hợp.

• Ví dụ 1: $4log_9x+logx_3-3>0$

• Ví dụ 2: $1+log_2(x-1)>log{x-1}4$

Dạng 3: Cách giải logarit lớp 12 cơ bản bằng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

• Lý thuyết cần nhớ

- Trong một số trường hợp ta không thể áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ để giải bài tập logarit lớp 12 thì ta có thể sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

- Phương pháp này thường được sử dụng để giải bất phương trình logarit có nhiều cơ số khác nhau.

- Để áp dụng phương pháp này ta chỉ cần biến đổi bất phương trình về dạng hàm số rồi xét tính đơn điệu và tìm ra nghiệm (hoặc tập nghiệm).

2.3. Các dạng toán liên quan đến hàm logarit

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit

Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:

+ Hàm số $y=a^x$ cần điều kiện là a là số thực dương và $a$ khác 1.

+ Hàm số $y = log_ax$ cần điều kiện:

• Số thực a dương và khác 1.

• $x>0$

Ví dụ minh hoạ:

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán. 

Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

Dạng 4: Cực trị hàm số logarit và min - max nhiều biến

Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao. Để giải được các bài tập cực trị của hàm số, các em cần vận dụng tốt các công thức biến đổi và nắm chắc các tính chất của hàm số logarit. 

Cùng VUIHOC xét 2 ví dụ sau đây để hiểu cách làm dạng toán cực trị và min max này nhé!

3. Bài tập áp dụng

Để giải các bài tập log toán 12 nhanh và chính xác nhất, các em tải ngay bộ bài tập luyện tập logarit mà các thầy cô VUIHOC đã soạn riêng tặng các em. Trong file này chứa đầy đủ các dạng bài tập logarit toán 12 từ cơ bản đến vận dụng cao, kèm giải chi tiết giúp các em có thể tự ôn tập được ở nhà. Tải ngay theo link dưới đây nhé!

>>>Tải xuống trọng bộ bài tập bất phương trình logarit có đáp án chi tiết<<<

>>>Tải xuống file bài tập hàm số logarit (có đáp án)<<<<

Để lại thông tin để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT đạt 9+ ngay

Các em đã cùng VUIHOC ôn lại toàn bộ lý thuyết về logarit và các bài tập thuộc logarit lớp 12. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng thường xuyên xuất hiện trong đề thi học kỳ Toán 12 cũng như 

trong đề thi THPT các năm. Hãy dành thời gian ôn tập chuyên đề này trong quá trình ôn thi Toán THPT Quốc Gia trong thời gian sắp tới. Chúc các em đạt kết quả tốt!

>>>Bài viết có thể tham khảo thêm:

Lý thuyết về hàm số mũ

Phương trình mũ và phương trình Logarit

Đồ thi hàm số mũ