Công Thức Tính Bán Kính, Diện Tích, Thể Tích Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Lập Phương

1. Hình lập phương là gì?

Khối đa diện đều có 6 mặt đều là các hình vuông bằng nhau, 12 cạnh bằng nhau và có 8 đỉnh, 3 cạnh gặp nhau tại 1 đỉnh và 4 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm được gọi là hình lập phương. 

Hình lập phương là hình có:

+ Đỉnh A, đỉnh C, đỉnh B, đỉnh E, đỉnh D, đỉnh F, đỉnh G, đỉnh H.

+ 6 mặt là hình vuông.

+ 12 cạnh bằng nhau: BD = AB = DC = CH = CA = AE = DG = BF = FG = FE = EH = HG.

Hình lập phương là hình có các tính chất sau:

• Có 6 mặt phẳng đối xứng bằng nhau.

• Có 12 cạnh bằng nhau.

• Đường chéo các mặt bên đều bằng nhau.

• Đường chéo khối lập phương bằng nhau.

2. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ta xác định như sau: Tâm mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC’ (là tâm đối xứng của hình lập phương).

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán

3. Công thức tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu được tính là:

Bán kính R của mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình lập phương/ hình hộp chữ nhật = $\frac{AC'}{2}$

Khi hình được cho là hình lập phương thì R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

4. Công thức tính thể tích V khối cầu, diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Công thức mặt cầu ngoại tiếp gồm có tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu, được quy định như sau:

•  Diện tích S của mặt cầu:

S = $4\pi R^{2}$

• Thể tích V khối cầu: 

V=$\frac{4}{3}\pi a^{3}$

5. Công thức tính đường chéo của hình lập phương

Đường chéo hình lập phương tạo với các đường cao h thành 1 tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pytago công thức tính đường chéo D là:

D =$\sqrt{d^{2}+a^{2}}$

Trong đó: 

D: độ dài đường chéo

d: độ dài đường chéo 1 mặt

a: độ dài cạnh hình lập phương

6. Một số bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a có diện tích bằng bao nhiêu?

Giải

Bán kính R:

IA =$\frac{1}{2}\sqrt{AA'^{2}+A'D'^{2}+A'B'^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích S: S =$4\pi R^{2}=3\pi a^{2}$ 

Bài 2: Hình lập phương có cạnh bằng a. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp?

Giải:

Hình lập phương cạnh a có đường chéo bằng $a\sqrt{3}$.

Bán kính R =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Bài 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương biết hình lập phương có cạnh bằng a?

Giải:

Trung điểm của đường chéo AC’ có tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và R = IA =$\frac{A'C'}{a\sqrt{2}}$

Khối lập phương có cạnh a nên AA’ = a, A’C’=$a\sqrt{2}$.

=> AC'=$\sqrt{AA'^{2}+A'C'^{2}}=\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{2})^{2}}=a\sqrt{3}$

Suy ra R =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy thể tích V =$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}\pi $

Bài 4: Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA=$a\sqrt{3}$, SA ⊥ (ABCD).

Giải:

Bán kính R hình vuông ABCD là: R =$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Do SA$\perp $(ABCD) nên SA $\perp $AB => tam giác SAB vuông tại A.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SAB:

SB =$\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=2a$

Ta có SA $\perp $(ABCD) nên SA là đường cao h của hình chóp.

Áp dụng công thức tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD:

R =$\sqrt{\frac{h^{2}}{4}+r^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=a$

S = $4\pi R^{2}=4\pi a^{2}$

Bài 5: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2a. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp đó bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi l và Q lần lượt là tâm của hình lập phương và hình vuông ABCD. 

AI là bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có: AO =$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=a\sqrt{2}.OI=a$ 

=> AI=$\sqrt{AO^{2}+OI^{2}}=a\sqrt{3}$

=> R=$\sqrt{3}a$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng ôn kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả và phù hợp nhất với bản thân

Trên đây bài viết đã tổng hợp đầy đủ toàn bộ kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. Hy vọng rằng các em học sinh, đặc biệt là các bạn sĩ tử sẽ ôn tập và trang bị đầy đủ kiến thức hơn để ôn thi thật tốt. Truy cập nền tảng học online Vuihoc.vn và đăng ký các lớp ôn thi cấp tốc nhé!

>> Xem thêm: Toán 12: Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập