Tính Tích Phân, Nguyên Hàm Bằng Phương Pháp Đổi Biến Số Và Bài Tập Trắc Nghiệm
Dạng bài tập tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập minh họa giúp các em tự tin khi làm dạng bài này. Tham khảo ngay trong bài viết dưới đây nhé!
1. Phương pháp đổi biến số là gì?
Phương pháp đổi biến số là một trong những phương pháp được dùng rất nhiều khi giải bài tập vì khi sử dụng phương pháp này, việc xử lý bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.
Một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$
Giải:
Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-\int_{1}^{0}x(1-x)^{19}dx$
Giải:
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ
Để tìm nguyên hàm thông thường người ta sẽ sử dụng 2 phương pháp đổi biến số nguyên hàm sau: phương pháp đổi biến số loại 1 và phương pháp biến đổi biến số loại 2.
2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 1 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = u(x)
-
Bước 2: Tính vi phân dt = u'(x)dx
-
Bước 3: Biểu thị f(x) và d(x) theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
-
Nếu hàm số:
$\int(x)$ có chứa $\sqrt[n]{g(x)}$ đặt $t=\sqrt[n]{g(x)} \Leftrightarrow t^{n}=g(x) \Rightarrow n.t^{n-1}dt=g'(x)dx$
-
Nếu hàm số:
$\int(x)$ có chứa $(ax+b)^{n}$ đặt $t=ax+b \Rightarrow dt= adx$ hoặc $x=\frac{t-b}{a}$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:
a) $\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$
b) $\int x^{3} \sqrt{x^{2}+9}dx$
Giải:
2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt ẩn phụ x = u(t)
-
Bước 2: Tìm vi phân dx = u'(t)dx
-
Bước 3: Biểu thị hàm số f(x) và d(x) theo t và dt.
Giả sử f(x)dx = g(t)dt
-
Bước 4: Tìm $I = \int g(t)dt$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm:
a) $\int xe^{x^{2}}dx$
b) $\int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}$
Giải:
Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc Gia
3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt t = u(x) đổi cận ta có:
-
$x = a \Rightarrow t = u(a) = a'$
-
Hoặc $x = b \Rightarrow t = u(b) = b'$
-
Bước 2: Tìm vi phân dt = u'(x)dx
-
Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt
-
Bước 4: Tích phân $\int^{b}_{a}f(x)dx=\int^{b'}_{a'}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân sau đây:
a) $\int^{\frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$
b) $\int^{e\frac{π}{2}}_{0}\frac{cos(Inx)}{x}dx$
Giải:
3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt x = u(t) đổi cận ta có:
$x = a \Rightarrow t = a'$ hoặc $x = b \Rightarrow t = b'$
-
Bước 2: Tìm vi phân hai vế dx = u'(t)dt
-
Bước 3: Biến đổi $f(x)dx = f(u)(t)).u'(t)dt = g(t)dx$
-
Bước 4: Tính tích phân theo công thức $\int^{b}_{a}f(x)dx = \int^{b'}_{a'}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân: $I = \int^{2}_{1}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx$
Giải:
4. Các bài tập về phương pháp đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân
Để nắm chắc kiến thức, các em hãy tham khảo những bài tập về phương pháp đổi biến số nguyên hàm, tích phân dưới đây nhé!
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $\int \frac{2sinx}{1+3cosx}dx$
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $\int \frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$
Giải:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $\int xe^{x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $\int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $\int \frac{x}{(2x+1)^{3}}$
Giải:
Ví dụ 6: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}\frac{1}{1+x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 7: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}\sqrt{1-x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=\int_{0}^{1}x^{5}(1-x^{3})^{6}dx$
Giải:
Ví dụ 9: Tính tích phân $I=\int^{0}_{-1}x^{2}(1-x)^{9}dx$
Giải:
Ví dụ 10: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$
Giải:
Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm phù hợp và đạt hiệu quả cao nhất
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi biến số và các dạng bài thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin làm bài tập khi sử dụng phương pháp đổi biến số. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!
>> XEM THÊM:
