Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Và Bài Tập Vận Dụng

Tác giả Cô Hiền Trần 14:09 30/11/2023 104,119 Tag Lớp 12

Tính thể tích khối tròn xoay không phải là dạng toán khó nhưng người học cũng cần hiểu rõ khái niệm và công thức để có thể dễ dàng áp dụng khi giải bài tập. Ngoài cung cấp kiến thức, bài viết dưới đây còn đi kèm những ví dụ cùng bài tập với mục đích giúp các bạn học sinh hiểu bài trọn vẹn nhất. Để có thể hiểu rõ hơn, hãy cùng nhau đi tìm hiểu nhé!

Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Và Bài Tập Vận Dụng

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Thể tích của khối tròn xoay là gì?

Trong hình học không gian, các em đều đã được làm quen với khái niệm về khối tròn xoay, thể tích khối tròn xoay. Vậy các em hiểu thế nào là khối tròn xoay?

Khi ta quay một mặt phẳng quanh trục cố định ta được một khối gọi là khối tròn xoay. Trong quá trình học tại trường phổ thông, các bạn sẽ được làm quen một số khối tròn xoay như khối nón tròn xoay, khối cầu tròn xoay, khối trụ tròn xoay,...

Hình khối tròn xoay và thể tích khối tròn xoay

Thể tích của một khối hình là lượng thể tích ở trong không gian mà hình ấy chiếm được. Để tính được thể tích của khối tròn xoay, các bạn học sinh có thể áp dụng được những công thức sau đây.

2. Công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox

Khi khối tròn xoay quanh trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay đó, các bạn có thể áp dụng vào những trường hợp sau:

Xét trường hợp 1: Khối tròn xoay được hình thành từ các yếu tố sau:

Đường thẳng y=f(x)
Trục hoành y=0
x=a; x=b

Trong trường hợp này, công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox sẽ có dạng như sau:

$V= \pi \int_{b}^{a} f^{2} (x) dx$

Công thức tính thể tích khối tròn xoay lúc này được tính theo:

$V= \pi \int_{b}^{a} f^{_{2}} (x) - g^{_{2}} (x) ] dx (g(x)\leqslant f (x) \forall x \in [a,b])$

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức về các khối tròn xoay

3. Công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Để tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy đơn giản, học sinh có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Đường x=g(y), trục tung (x=0), y=c; y=d

Trong trường hợp này, thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy được tính theo công thức:

$V = \pi \int_{c}^{d} g^{^{2}} (y) dy$

Trường hợp 2: Đường x=f(y), x=g(y), y=c; y=d

Khi này, thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy sẽ là:

$V= \pi \int_{c}^{d} [f^{^{2}} (y) - g^{2} (y)] dy (g(y) \leqslant f(y), \forall y\in [c,d])$

4. Các bài tập tính thể tích khối tròn xoay từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải

Ví dụ 1: Đường thẳng y=1-x2 tạo thành một khối tròn xoay với y=0, x=0 và x=2 quay quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay thu được lúc này là bao nhiêu?

Bài giải:

Áp dụng theo công thức:

$V= \pi \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

Thể tích khối tròn xoay là:

Ví dụ 2: Cho đường thẳng y=2/y, trục tung, y=1, y=4 tạo thành một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.

Ví dụ 3: Cho khối tròn xoay được tạo bởi y=√x , y=-x+2, y=0 quay quanh trục Oy. Thể tích khối tròn xoay đó là bao nhiêu?

Ví dụ 4: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \sqrt{\frac{x}{4-x^{2}}}$ , trục Ox và đường thẳng x=1. Hãy tính thể tích khối tròn xoay thu được đó khi xoay quanh hình (H) và xoay quanh trục Ox.

Ví dụ 5: Thể tích V của khối tròn xoay được hình thành bằng cách quay quanh hình phẳng được giới hạn bằng các đường $y= \sqrt{x}$ , y=0, x=4 và trục Ox. Đường thẳng x=a (0<a<4) giao với đồ thị hàm số $y= \sqrt{x}$ tại M.

Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác MOH quanh trục Ox. Biết rằng V=2V1. Tính a?

Trên đây là toàn bộ công thức tính thể tích khối tròn xoay và một số ví dụ áp dụng. Hi vọng bài viết này sẽ giúp cho các bạn học sinh nắm vững các công thức Toán hình 12 và “xử lý” dạng bài về thể tích khối tròn xoay một cách dễ dàng. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé!