Công Thức Tính Tổ Hợp Xác Suất Và Các Dạng Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 10:33 06/12/2023 243,542 Tag Lớp 11

Tổ hợp xác suất là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong đó, các công thức tính tổ hợp xác suất khá phức tạp. Vì vậy, để làm được dạng bài tập này thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập về tổ hợp xác suất qua bài viết sau đây.

Công Thức Tính Tổ Hợp Xác Suất Và Các Dạng Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Các công thức tính tổ hợp

1.1. Tổ hợp lặp

Cho tập $\left \{ A= a_{1}; a_{2};...;a_{n} \right \}$ và số tự nhiên K bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

$\bar{C_{n}^{k}} = C_{n+k-1}^{k} + C_{n+k-1}^{m-1}$

1.2. Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm $(1 \leq k \leq n)$ phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

$C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Quy ước: $C_{n}^{0}=1$

Tính chất:

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1; C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}; C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}; C_{n}^{k} = \frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$

2. Các công thức tính xác suất

$P(A)= \frac{n(A)}{n(\Omega)}$

Trong đó:

n(A): là phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến Q
n( $\Omega$ ): là số phân tử của không gian mẫu $\Omega$ cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T

Ngoài ra khi giải bài toán xác suất các em sẽ phải vận dụng một số công thức về tính chất của xác suất:

$P(\oslash) = 0, P(\Omega) = 1$
$0\leq P\leq 1$
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
$P(A \cup B)= P(A) + P(B)$
$P(A . B) = P(A) . P(B) \Leftrightarrow$ A và B độc lập

Nhận ngay bí kịp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài Toán 11 ôn thi THPT

3. Một số bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Sau khi nắm được lý thuyết tổ hợp xác suất và các công thức thì các em hãy tham khảo thêm một số bài tập dưới đây nhé!

Câu 1: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Giải:

Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kỳ từ 16 quả là C₁6⁴

Gọi A là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

– Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: $C_{4}^{1}.C_{5}^{3}$

– Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: $C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{7}^{1}$

– Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: $C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{7}^{2}$

Vậy xác suất của biến cố A là: $\frac{C_{4}^{1}.C_{5}^{3}+C_{4}^{1}.C_{5}^{2}+C_{4}6{1}.C_{5}^{1}.C_{7}^{2}}{C_{1}6^{4}} = \frac{37}{91}$

Câu 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

Giải:

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X khi đó: $\left | \Omega \right | = A_{9}^{6} = 60480$

Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ khi đó:

Chọn 3 số lẻ đôi một khác từ các số 1, 3, 5, 7, 7, 9 có $C_{5}^{3}$ cách.
Chọn 3 chữ số chẵn đôi một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có $C_{4}^{3}$ cách.

Do đó $\left | \Omega \right | = C_{5}^{3} . C_{4}^{3} . 6! = 28800$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{\left | \Omega_{A} \right |}{\Omega} = \frac{28800}{60480} = \frac{10}{21}$

Câu 3: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.

Giải:

Gọi số cần tìm của S có dạng $\overline{abc}$

$(a \neq 0; a \neq b \neq c; a, b, c \epsilon \left \{ 1,1,2,3,4,5,6 \right \})$

Số cách chọn chữ số a có 6 cách $(a \neq 0)$

Số cách chọn chữ số b có 6 cách (vì $a \neq b$ )

Số cách chọn chữ số c có 5 cách (vì $c \neq a, c \neq b$ )

Vậy S có 6.6.5 = 180 số

Số phần tử của không gian mẫu là = 180

Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm. Khi đó ta có 3 bộ số thỏa mãn biến cố A là: $\bar{1b2}, \bar{2b4}, \bar{3b6}$ và trong mỗi bộ thì b có 5 cách chọn nên có 3.5 = 15 (số). Các kết quả có lợi cho biến cố A là $\left | \Omega \right | = 15$

Vậy $P(A) = \frac{\left | \Omega_{A} \right |}{\left | \Omega \right |} = \frac{15}{180} = \frac{1}{12}$

Câu 4: Cho tập A có 20 phân tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phân tử là số chẵn?

Giải:

Số tập con của A khác rỗng và số phân tử là số chẵn được tính như sau:

^{Bên cạnh đó, ta lại có:}

^{Cộng 2 vế ta có:}

^{Do đó:}

Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia Oy. Nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy (Biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm).

Giải:

Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là $C_{8}^{2} . C_{5}^{2} = 280$

Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy

Vậy số giao điểm là 280.

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là tổng hợp công thức tính tổ hợp xác suất cũng như các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán 11. Để đạt kết quả tốt nhất, các em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề mỗi ngày! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

>> Xem thêm: Hoán vị - chỉnh hợp và tổ hợp Toán học lớp 11