img
Thông báo
Sắp bắt đầu năm học mới, lớp hiện tại của bạn đang là lớp {{gradeId}}, bạn có muốn thay đổi lớp không?

Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

Tác giả Cô Hiền Trần 16:22 21/03/2022 9,540 Tag Lớp 12

Bài toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số được coi là dạng toán đơn giản trong chương trình THPT. Nhưng các em cũng đừng chủ quan mà bỏ qua lý thuyết và ôn tập thật kĩ. Hãy cùng Vuihoc.vn tìm hiểu về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cùng các dạng toán để luyện tập nhé!

Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hay khoảng chính là giá trị đó phải đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn (khoảng) đó. Có những hàm số không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất dù cho có cận trên và cận dưới trên đoạn hay khoảng mà chúng ta đang xét.

Hàm số y = f(x) và xác định trên D:

  • Nếu f(x) ≤ M x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M thì M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D. 

Kí hiệu: Max f(x)= M

  • Nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D. 

Kí hiệu: Min f(x)=m

Ta có sơ đồ sau:

Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

2. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

2.1. Trên miền D

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên tập D xác định ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào kết quả bảng biến thiên của hàm số để đưa ra kết luận cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu?

$y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

Phương pháp giải giá trị lớn nhất nhỏ nhất toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 2: Toán 12 tìm trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số: $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x-1}$ 

Phương pháp giải:

Phương pháp toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

2.2. Trên một đoạn

Theo định lý ta biết rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. Vậy quy tắc và phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a, b là:

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $y=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}=2x+1$ trên đoạn $\left [ -1,0 \right ]$

Giải: 

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn $\left [ -\frac{1}{2};1\right ]$

Giải:

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

3. Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số và phương pháp giải

3.1. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số y= f(x) trên một khoảng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1. Tìm tập xác định 

  • Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định

  • Bước 3. Lập bảng biến thiên

  • Bước 4. Kết luận.

Lưu ý: Bạn có thể dùng máy tính cầm tay để giải các bước như sau:

  • Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị).

  • Quan sát bảng giá trị máy tính hiện, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.

  • Ta lập giá trị của biến x Start a End b Step $\frac{b-a}{19}$ (có thể làm tròn).

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx,… chuyển máy tính về chế độ Rad.

Ví dụ: Cho hàm số y= f(X)= $\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+z}$

Tập xác định D=ℝ

Ta có y= f(X)= $1-\frac{2x}{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow {y}'=\frac{2(x^{2}+x+1)-2x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}$
$=\frac{2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

Do đó y'= 0 $\Leftrightarrow 2x^{2}-2=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$

Bảng biến thiên

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Qua bảng biến thiên, ta thấy: 

$\begin{matrix}maxf(x)\\ \mathbb{R}\end{matrix} = \frac{47}{30}$ tại x=1

3.2. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

  • Bước 1: Tính f’(x)

  • Bước 2: Tìm những điểm xi ∈ (a;b) mà tại điểm đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định

  • Bước 3: Tính f(a), f(xi), f(b)

  • Bước 4: Tìm số có giá trị nhỏ nhất m và số có giá trị lớn nhất M trong các số trên.

Khi đó M= max f(x) và m=min f(x) trên $\left [ a,b \right ]$.

Chú ý:

Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

– Khi hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

$\left\{\begin{matrix}
maxf(x) =f(b)& \\ minf(x)=f(a)\end{matrix}\right.$

– Khi hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

$\left\{\begin{matrix}
maxf(x) =f(a)& \\ minf(x)=f(b)\end{matrix}\right.$

Ví dụ: Cho hàm số $\frac{x+2}{x-2}$. Giá trị của $\left ( \begin{matrix}min y\\\left [ 2;3 \right ] \end{matrix} \right )^{2}+\left (\begin{matrix}max y\\\left [ 2;3 \right ]\end{matrix} \right )^{2}$

bằng

Ta có $y'=\frac{-3}{x-1}<0 \forall x\neq 1$; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞).

⇒ Hàm số trên nghịch biến [2; 3]

Do đó $\begin{matrix}min y\\ \left [ 2;3 \right ]\end{matrix}=y(3)=\frac{5}{2}$

$\begin{matrix}max y\\ \left [ 2;3 \right ]\end{matrix}=y(2)=4$ 

Vậy giai-toan-12-gia-tri-lon-nhat-nho-nhat-cua-ham-so 

3.3. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu t= sinx hoặc t= cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu t= |cosx| hoặc $t=cos^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu t=|sinx| hoặc $t=sin^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx = $\sqrt{2}sin(x\pm \frac{\pi }{4})\Rightarrow -\sqrt{2}\leqslant t\leqslant \sqrt{2}$

  • Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ

  • Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ

  • Kết luận

Ví dụ: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2cos2x + 2sinx là bao nhiêu?

Ta có y= f(x) = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t2 + 2t +2

Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ t = $\frac{1}{4}$ ∈ (-1; 1)

Vì $\left\{\begin{matrix}y(-1)=-4\\y(1)=0 \\y(\frac{1}{4})=\frac{9}{4}\end{matrix}\right.$ nên M = 94; m = -4

3.4. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc biến thiên

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình:

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R bằng bao nhiêu biết f(-4) > f(8)?

Giải

giai-toan-12-gia-tri-lon-nhat-nho-nhat-cua-ham-so

Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình dưới và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] 

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Giải

Từ đồ thị suy ra: m = f(2) = -2, M = f(3) = 3; 

Vậy M – m = 5

Hy vọng bài viết trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh bổ sung thêm kiến thức cũng như các lý thuyết về toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong quá trình ôn thi THPT. Các bạn có thể truy cập Vuihoc.vn để tham gia những khóa học dành cho học sinh lớp 12 nhé!

| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}
Hotline: 0987810990