Lý thuyết đơn thức và đa thức nhiều biến

Tác giả Hoàng Uyên 10:17 19/04/2024 2,084

Đơn thức và đa thức là những khái niệm quan trọng mà các em cần phải nắm được trong chương trình toán 8 SGK mới. Mời các em cùng theo dõi bài viết lý thuyết về đơn thức và đa thức nhiều biến cùng các dạng bài tập cơ bản.

Lý thuyết đơn thức và đa thức nhiều biến

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Đơn thức

1.1 Đơn thức và đơn thức thu gọn

- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc có dạng tích của các số và biến.

Ví dụ: 0; 2x; $5x\sqrt{yz}$

- Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số hoặc có dạng tích cảu một số với những biến. Trong đó mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên đương.

Ví dụ: 5xy6y³ = 5.6.xy.y³ = 30xy⁴ (1)

+ Tổng số mũ của các biến trong đơn thức thu gọn (hệ số khác 0) gọi là bậc của đơn thức.

Ví dụ bậc của đơn thức (1): Tổng số mũ của x ; y là: 1 + 4 = 5 => Đơn thức này có bậc 5.

+ Để xác định bậc của đơn thức, chúng ta nên rút gọn đơn thức đó để dễ tìm bậc hơn. Trong một đơn thức thu gọn, phần số được gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ đơn thức (1) có 30 là hệ số, xy⁴ là phần biến.

- Lưu ý: Số 0 cũng là một đơn thức, đơn thức này không có bậc.

1.2 Đơn thức đồng dạng

- Đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác không và phần biến giống nhau.

Ví dụ: Cho đơn thức A: 5zyx ; đơn thức B: -5 $\sqrt{3}$ xyz. Hai đơn thức A và B được gọi là đơn thức đồng dạng do chúng có phần biến giống nhau (xyz).

- Muốn cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng hay trừ các hệ số với nhau, giữ nguyên phần biến.

Ví dụ: Cho đơn thức A: 5xyz ; đơn thức B: -5 $\sqrt{3}$ xyz. Tính A + B và A - B

A + B = 5xyz + (-5 $\sqrt{3}$ xyz) = $\sqrt{3}$ xyz

A - B = 5xyz - (-5 $\sqrt{3}$ xyz) = 10 $\sqrt{3}$ xyz

2. Đa thức nhiều biến

2.1 Định nghĩa

- Đa thức nhiều biến hay đa thức là một tổng của những đơn thức

Ví dụ: P = 5xy + 8 là đa thức của hai biến x và y.

2.2 Đa thức thu gọn

- Đa thức thu gọn là cách làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ: Q = 5xy + 9xy + yz - 5xy + 7yz = 9xy + 8yz

2.3 Giá trị của đa thức

- Để tính giá trị của đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện các phép tính.

Ví dụ: Tính biểu thức Q = 9xy + 8yz tại x = 1 ; y = 2 và z = 3

Giá trị của Q tại x = 1 ; y = 2 và z = 3 là: Q = 9.1.2 + 8.2.3 = 66

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

3. Các dạng bài tập

3.1 Bài tập đơn thức và đa thức nhiều biến sách cánh diều

Bài 1 trang 9 SGK Toán 8 Cánh diều

a. Biểu thức là đơn thức:

$\large \frac{1}{5}xy^{2}z^{3}$

$\large \frac{-3}{2}x^{4}yxz^{2}$

b. Biểu thức là đa thức:

2 - x + y

$\large -5x^{2}yz^{3} +\frac{1}{3}xy^{2}z+x+1$

Bài 2 trang 10 SGK Toán 8 Cánh diều

a. $\large \frac{-1}{2}x^{2}yxy^{3}=\frac{-1}{2} (x^{2}.x)(y.y^{3})=\frac{-1}{2}x^{3}y^{4}$

b. $\large 0,5x^{2}yzxy^{3}=0,5(x^{2}.x)(y.y^{3}).z=0,5x^{3}y^{4}z$

Bài 3 trang 10 SGK Toán 8 Cánh diều

a. Các đơn thức đồng dạng là:

$\large x^{3}y^{5};\frac{-1}{6}x^{3}y^{5};\sqrt{3}x^{3}y^{5}$

b. Các đơn thức k đồng dạng là:

x²y³ ; x²y⁷

Bài 4 trang 10 SGK Toán 8 Cánh diều

a. 9x³y⁶ + 4x³y⁶ + 7x³y⁶ = (9 + 4 + 7)x³y⁶ = 20x³y⁶

b. 9x⁵y⁶ – 14x⁵y⁶ + 5x⁵y⁶ = (9 – 14 + 5)x⁵y⁶ = 0.

Bài 5 trang 10 SGK Toán 8 Cánh diều

a) A = 13x²y + 4 + 8xy – 6x²y – 9

= (13x²y – 6x²y) + 8xy + (4 – 9)

= 7x²y + 8xy – 5

b) B = 4,4x²y – 40,6xy² + 3,6xy² – 1,4x²y – 26

= (4,4x²y – 1,4x²y) – (40,6xy² – 3,6xy²) – 26

= 3x²y – 37xy² – 26.

Bài 6 trang 10 SGK Toán 8 Cánh diều

Giá trị của đa thức P = x³y – 14y³ – 6xy² + y + 2 tại x = –1; y = 2 là:

(–1)³ . 2 – 14 . 2³ – 6. (–1) . 2² + 2 + 2

= (–1) . 2 – 14 . 8 – 6. (–1) . 4 + 2 + 2

= –2 – 112 + 24 + 2 + 2 = –86.

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức toán vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

3.2 Bài tập đơn thức và đa thức nhiều biến sách chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 11 toán 8 chân trời sáng tạo

Các đơn thức là: –3; 2z; –10x²yz.

Các đa thức là: –3; 2z; –10x²yz; 1/3xy + 1; 5x – z/2.

Bài 2 trang 11 toán 8 chân trời sáng tạo

Đơn thức	Rút gọn đơn thức	Hệ số	Phần biến	Bậc
5xyx	5x²y	5	x²y	3
-xyz2/3y	-2/3xy²z	-2/3	xy²z	4
-2x²(-1/6)x	1/3x³	1/3	x³	3

Bài 3 trang 11 toán 8 chân trời sáng tạo

a) M = x – 3 – 4y + 2x – y

= (x + 2x) + (–4y – y) – 3

= 3x – 5y – 3

Ba hạng tử của đa thức M có bậc lần lượt là 1; 1; 0. Do đó bậc của đa thức M bằng 1.

Vậy M = 3x – 5y – 3 và bậc của đa thức M bằng 1.

b) N = –x²t + 13t³ + xt² + 5t³ – 4.

= –x²t + (13t³ + 5t³) + xt² – 4

= –x²t + 18t³ + xt² – 4

Bốn hạng tử của đa thức N có bậc lần lượt là 3; 3; 3; 0. Do đó bậc của đa thức N bằng 3.

Vậy N = –x²t + 18t³ + xt² – 4 và bậc của đa thức N bằng 3.

Bài 4 trang 11 toán 8 chân trời sáng tạo

Thu gọn đa thức P:

P = 3xy² – 6xy + 8xz + xy² – 10xz = (3xy² + xy²) – 6xy + (8xz – 10xz) = 4xy² – 6xy – 2xz.

Thay x = -3 ; y = -1/2 và z = 3 vào P ta được:

P = 4.(−3).(−1/2)² − 6.(−3).(−1/2)−2.(−3).3 = -3 - 9 + 18 = 6

Bài 5 trang 11 toán 8 chân trời sáng tạo

V = 3x.4y.2z = 24xyz (đơn vị thể tích).

Biểu thức biểu thị diện tích xung quanh S của hình hộp chữ nhật trong Hình 5 là:

S = 2.(3x + 4y).2z = 4z(3x + 4y) (đơn vị diện tích).

Thay x = 4 cm, y = 2 cm và z = 1 cm vào biểu thức V, S ta được:

V = 24xyz = 24.4.2.1 = 192 (cm³).

S = 4.1.(3.4 + 4.2) = 4.(12 + 8) = 80 (cm²).

3.3 Bài tập đơn thức và đa thức nhiều biến sách kết nối tri thức

Bài 1.1 trang 9 SGK Toán 8 kết nối tri thức

- Các biểu thức là đơn thức bao gồm: -x ; ( 3 + $\sqrt{3}$ )xy ; 0

Bài 1.2 trang 9 SGK Toán 8 kết nối tri thức

a. Đơn thức đã thu gọn: B và D

Thu gọn đơn thức còn lại:

A = 4x(-2)x²y = -8x³y

$\large C=(1+2.4,5)x^{2}y\frac{1}{5}y^{3}=2x^{2}y^{4}$

Đơn thức	Hệ số	Phần biến	Bậc
A	-8	x³y	4
B	12,75	xyz	3
C	2	x²y⁴	6
D	2 - $\large \sqrt{5}$	x	1

Bài 1.3 trang 10 SGK Toán 8 kết nối tri thức

$\large A=(-2)x^{2}y\frac{1}{2}xy=-x^{3}y^{2}$

Thay x = -2 ; y = 1/2 ta có A = 2

B = xyz(-0,5)y²z = -0,5xy³z²

Thay x = 4 ; y = 0,5 ; z= 2 ta có B = -1

Bài 1.4 trang 10 SGK Toán 8 kết nối tri thức

Nhóm các đơn thức đồng dạng:

Nhóm 1: 3x³y² ; 7x³y²

Nhóm 2: -0,2x²y³ ; 3/4x²y³

Nhóm 3: -4y ; y $\large \sqrt{2}$

Bài 1.5 trang 10 SGK Toán 8 kết nối tri thức

Ta có:

$\large S=\frac{1}{2}x^{2}y^{5} - \frac{5}{2}x^{2}y^{5}=\left ( \frac{1}{2}-\frac{5}{2} \right )x^{2}y^{5}=-2x^{2}y^{5}$

Thay x = -2 và y = 1 vào biểu thức S, ta được:

S = (-2).(-2)².1⁵ = -2.4.1 = -8

Bài 1.6 trang 10 SGK Toán 8 kết nối tri thức

Tổng của 4 đơn thức là:

$2x^{2}y^{3}+\left ( -\frac{5}{3}x^{2}y^{3} \right )+(-14x^{2}y^{3})+\frac{8}{5}x^{2}y^{3}$

$=\left ( 2-\frac{3}{5}-14+\frac{8}{5} \right )x^{2}y^{3}=-11x^{2}y^{3}$

Bài 1.7 trang 10 SGK Toán 8 kết nối tri thức

Tính tổng diện tích của hai hình chữ nhật ABCD và EFGC.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 2x.2y = 4xy (đvdt);

Diện tích hình chữ nhật EFGC là: 3x.y = 3xy (đvdt);

Diện tích mảnh đất tô màu xanh là: 4xy + 3xy = 7xy (đvdt).

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về đơn thức và đa thức nhiều biến cùng hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Để tìm hiểu thêm các bài học trong chương trình toán 8, các em hãy theo dõi những bài viết mới của VUIHOC hàng ngày nhé!

Số thực| Toán 7 chương trình mới

Số vô tỉ, căn bậc hai số học| Toán 7 chương trình mới

Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn| Toán 7 kết nối tri thức

Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế| Toán 7 chương trình mới