Phép nhân và phép chia phân thức đại số| Toán 8 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 10:53 19/04/2024 452 Tag Lớp 8

Phép nhân và phép chia phân thức đại số toán 8 là những kiến thức cơ bản các em cần nắm để giải các bài tập liên quan đến kiến thức về phân thức. Tham khảo bài viết của VUIHOC về cách thực hiện phép nhân, chia phân thức.

Phép nhân và phép chia phân thức đại số| Toán 8 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Phép nhân và phép chia phân thức đại số toán 8

1.1 Phép nhân phân thức đại số

a. Quy tắc nhân phân thức đại số

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau. Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích và được viết dưới dạng rút gọn.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$

Ví dụ: Nhân hai phân thức $A=\frac{5x+2}{3y};B= \frac{x-1}{3y}$

Lời giải:

$A.B=\frac{5x+2}{3y}. \frac{x-1}{3y}=\frac{(5x+2x).(x-1)}{3y.3y}=\frac{5x^{2}-5x+2x^{2}-2x}{9y^{2}}$

$=\frac{7x^{2}-7x}{9y^{2}}$

b. Tính chất của phép nhân phân thức đại số

- Tính chất giao hoán:

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B}$

- Tính chất kết hợp

$\left ( \frac{A}{B}.\frac{C}{D} \right ).\frac{E}{F}=\frac{A}{B}.\left ( \frac{C}{D}.\frac{E}{F} \right )$

- Tính chất phân phối đối với phép cộng
$\left ( \frac{A}{B}.\frac{C}{D} \right )+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}.\frac{C}{D}+\frac{A}{B}.\frac{E}{F}$

=> Áp dụng tính chất của phép nhân phân thức đại số ta có thể rút gọn một số biểu thức:

$\frac{x}{y}.\frac{x-1}{x+1}.\frac{y}{x}=\left ( \frac{x}{y}.\frac{y}{x} \right ).\frac{x-1}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}$

1.2 Phép chia phân thức đại số

a. Phân thức nghịch đảo

Phân thức $\frac{B}{A}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức khác 0.

Ví dụ: Tìm phân thức nghịch đảo của phân thức $A=\frac{x+1}{x}; B=\frac{3}{(x+1)}$

Lời giải:

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{x+1}{x}$ là $\frac{x}{x+1}$

Phân thức nghịc đảo của phân thức $\frac{3}{x+1}$ là $\frac{x+1}{3}$

b. Quy tắc phép chia phân thức đại số

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C} \left ( \frac{C}{D}\neq 0 \right )$

Ví dụ: Thực hiện phép chia $\frac{x+1}{x}:\frac{3}{(x+1)}$

Lời giải:

$\frac{x+1}{x}:\frac{3}{(x+1)}=\frac{x+1}{x}.\frac{x+1}{3}=\frac{(x+1)(x+1)}{3.x}=\frac{(x+1)^{2}}{3x}$

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

2. Bài tập phép nhân và phép chia phân thức đại số toán 8

2.1 Bài tập phép nhân và phép chia phân thức đại số toán 8 kết nối tri thức

Bài 6.26 trang 22 SGK toán 8/2 kết nối tri thức

a. $\left ( -\frac{3x}{5xy^{2}} \right ).\left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )=\frac{-3x.(-5y^{2})}{5xy^{2}.12xy}=\frac{15xy^{2}}{60x^{2}y^{3}}=\frac{1}{4xy}$

b. $\frac{x^{2}-x}{2x+1}.\frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}=\frac{(x^{2}-x).(4x^{2}-1)}{(2x+1).(x^{3}-1)}$

$=\frac{x(x-1)(2x+1)(2x-1)}{(2x+1).(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{x(2x-1)}{x^{2}+x+1}$

Bài 6.27 trang 22 SGK toán 8/2 kết nối tri thức

a. $\left ( -\frac{3x}{5xy^{2}} \right ):\left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )=\left ( -\frac{3x}{5xy^{2}} \right ).\left ( -\frac{12xy}{5y^{2}} \right )=\frac{36x}{25y^{3}}$

b. $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}=\frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)}.\frac{4x^{2}+2x+1}{(2x+1)^{2}}=\frac{1}{2x+1}$

Bài 6.28 trang 22 SGK toán 8/2 kết nối tri thức

a. Ta có: $P.\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$

$\Rightarrow P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}:\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x(x+1)}{(2x+1)(2x-1)}.\frac{2x+1}{x+1}=\frac{x}{2x-1}$

b. Ta có: $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x^{2}-2x)}$

$\Rightarrow Q=\frac{(x+1)(x+2)}{(x^{2}-2x)}.\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}$

$=\frac{(x+1)(x+2)}{x(x-2)}.\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}=\frac{x(x+1)}{(x+2)(x-2)}$

Bài 6.29 trang 22 SGK toán 8/2 kết nối tri thức

a. $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}=\frac{(x+3)^{2}}{x(x+3)}=\frac{x+3}{x}$

$Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}=\frac{x(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x}{x-3}$

b. $P.Q=\frac{x+3}{x}.\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x-3}$

$P:Q=\frac{x+3}{x}:\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x}.\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-9}{x^{2}}$

Bài 6.30 trang 22 SGK toán 8/2 kết nối tri thức

a) Nếu trả mỗi tháng 15 triệu đồng trong 10 năm (= 120 tháng) thì lãi suất năm của khoản vay là giá trị của $r=\frac{xy-1200}{100y}$ tại x = 15, y = 120, cụ thể là:

$r=\frac{15.120-1200}{100.120}=0,05=5%$

Thực tế, tổng số tiền người vay trả sau 10 năm là: 15.120 = 1800 triệu đồng = 1,8 tỉ đồng, chênh (cao hơn) so với khoản vay 1,2 tỉ đồng là 0,6 tỉ đồng = 600 triệu đồng.

b) Vì x là số tiền trả mỗi tháng, y là số tháng trả góp nên x, y phải là số dương. Ngoài ra, xy là số tiền người vay trả sau y tháng nên nếu xy ≤ 1200 thì số tiền trả chưa đủ hoàn hết số tiền vay 1,2 tỉ đồng, người cho vay không có lãi hoặc lỗ. Vì vậy trong công thức tính lãi suất năm $r=\frac{xy-1200}{100y}$ hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện; x > 0, y > 0, xy > 1200.

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, các em sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi !!!!

2.2 Bài tập phép nhân và phép chia phân thức đại số toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 39 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. $\frac{4y}{3x^{2}}.\frac{5x^{3}}{2y^{3}}=\frac{4y.5x^{3}}{3x^{2}2y^{3}}=\frac{2.5x}{3y^{2}}=\frac{10x}{3y^{2}}$

b. $\frac{x^{2-2x+1}}{x^{2}-1}.\frac{x^{2}+x}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}.x(x+1)}{(x+1)(x-1)(x-1)}=x$

c. $\frac{2x+x^{2}}{x^{2}-x+1}.\frac{3x^{3}+3}{3x+6}=\frac{x(2+x).3(x^{3}+1)}{(x^{2}-x+1).3.(x+2)}$

$=\frac{x(x^{3}+1)}{x^{2}-x+1}=\frac{x(x+1)(x^{2}-x+1)}{x^{2}-x+1}=x(x+1)=x^{2}+x$

Bài 2 trang 39 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. $\frac{5x}{4y^{3}}:\left ( -\frac{x^{4}}{20y} \right )=\frac{5x}{4y^{3}}.\frac{-20y}{x^{4}}=\frac{-25}{x^{3}y^{2}}$

b. $\frac{x^{2}-16}{x+4}:\frac{2x-8}{x}=\frac{(x+4)(x-4)}{x+4}.\frac{x}{2(x-4)}=\frac{(x-4)x}{2(x-4)}=\frac{x}{2}$

c. $\frac{2x+6}{x^{3}-8}:\frac{(x+3)^{3}}{2x-4}=\frac{2(x+3)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}.\frac{2(x-2)}{(x+3)^{3}}$

$=\frac{2(x+3).2(x-2)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)(x+3)^{3}}=\frac{4}{(x^{2}+2x+4)(x+3)^{3}}$

Bài 3 trang 39 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. $\frac{4x^{2}+2}{x-2}.\frac{3x+2}{x-4}.\frac{4-2x}{2x^{2}+1}=\frac{2(2x^{2}+1).(3x+2).2(2-x)}{(x-2)(x-4)(2x^{2}+1)}$

$=\frac{2(3x+2).2(-1)(x-2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{2(3x+2).2.(-1)}{x-4}$

$=\frac{-4(3x+2)}{x-4}$

b. $\frac{x+3}{x}.\frac{x+2}{x^{2}+6x+9}:\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x}$

$=\frac{(x+3)(x+2)}{x(x+3)^{2}}.\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4}=\frac{(x+2).x(x+3)}{x(x+3)(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$

Bài 4 trang 39 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. $\left ( \frac{1-x}{x}+x^{2}-1 \right ):\frac{x-1}{x}=\left [ \frac{1-x}{x}+\frac{x(x^{2}-1)}{x} \right ]:\frac{x-1}{x}$

$=\frac{-(x-1)+x(x+1)(x-1)}{x}.\frac{x}{x-1}$

$=\frac{(x-1)(-1+x^{2}+x).x}{x(x-1)}=x^{2}+x-1$

b. $\left ( \frac{1}{x^{2}} -\frac{1}{x}\right ).\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}=\frac{1}{x^{2}}.\frac{x^{2}}{y}-\frac{1}{x}.\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}$

$=\frac{1}{y}-\frac{x}{y}+\frac{x}{y}=\frac{1}{y}$

c. $\frac{3}{x}-\frac{2}{x}:\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.\frac{x^{2}}{3}=\frac{3}{x}-\frac{2}{x}.\frac{x}{1}+\frac{x}{3}$

$=\frac{3}{x}-2+\frac{x}{3}=\frac{3^{2}-2.x.3+x^{2}}{3x}=\frac{9-6x+x^{2}}{3x}=\frac{(x-3)^{2}}{3x}$

Bài 5 trang 39 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) Thời gian lượt đi là: $\frac{15}{x}$ (giờ).

Tốc độ lượt về là: x + 4 (km/h).

Thời gian lượt về là: $\frac{15}{x+4}$ (giờ).

Biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và về là:

$T=\frac{15}{x}+\frac{15}{x+4}=\frac{15(x+4)}{x(x+4)}+\frac{15x}{x(x+4)}=\frac{30x+60}{x(x+4)}=\frac{15(2x+4)}{x(x+4)}$ (giờ).

b) Biểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về là:

$t=\frac{15}{x}-\frac{15}{x+4}=\frac{15(x+4)}{x(x+4)}-\frac{15x}{x(x+4)}=\frac{60}{x(x+4)}$ (giờ).

c) Xét hai phân thức: $T=\frac{15(2x+4)}{x(x+4)}$ và $t=\frac{60}{x(x+4)}$

Điều kiện xác định của hai phân thức trên là x(x + 4) $\neq$ 0.

Khi x = 10 thì x(x + 4) = 140 $\neq$ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Do đó ta có:

$T=\frac{30.10+60}{10(10+4)}=\frac{360}{140}=\frac{18}{7}$ (giờ).

$t=\frac{60}{10(10+4)}=\frac{60}{10.14}=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$ (giờ).

2.3 Bài tập phép nhân và phép chia phân thức đại số toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 47 SGK toán 8/1 cánh diều

a. $\frac{3x+6}{4x-8}.\frac{2x-4}{x+2}=\frac{3(x+2)}{4(x-2)}.\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{6(x+2)(x-2)}{4(x-2)(x+2)}=\frac{3}{2}$

b. $\frac{x^{2}-36}{2x+10}.\frac{x+5}{6-x}=-\frac{x^{2-36}}{2x+10}.\frac{x+5}{x-6}$

$=-\frac{(x+6)(x-6)}{29x+5}.\frac{(x+5)}{x-6}=-\frac{x+6}{2}$

c. $\frac{1-y^{3}}{y+1}.\frac{5y+5}{y^{2}+y+1}=-\frac{(y^{3}-1)(5y+5)}{(y+1)(y^{2}+y-1)}$

$=-\frac{5(y-1)(y^{2}+y+1)(y+1)}{(y+1)(y^{2}+y+1)}=-5(y-1)=5-5y$

d. $\frac{x+2y}{4x^{2}-4xy+y^{2}}.(2x-y)=\frac{x+2y}{(2x-y)^{2}}.(2x-y)$

$=\frac{(x+2y)(2x-y)}{(2x-y)^{2}}=\frac{x+2y}{2x-y}$

Bài 2 trang 48 SGK toán 8/1 cánh diều

a. $\frac{20x}{3y^{2}}:\left ( -\frac{15x^{2}}{6y} \right )=-\frac{20x}{3y^{2}}:\frac{5x^{2}}{2y}=\frac{20x}{3y^{2}}.\frac{2y}{5x^{2}}=\frac{-8}{3xy}$

b. $\frac{9x^{2}-y^{2}}{x+y}:\frac{3x+y}{2x+y}=\frac{(3x+y)(3x-y)}{x+y}:\frac{3x+y}{2(x+y)}$

$=\frac{(3x+y)(3x-y)}{x+y}.\frac{2(x+y)}{3x+y}=6x-2y$

c. $\frac{x^{3}+y^{3}}{y-x}:\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}$

$=\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{y-x}:\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{(x-y)^{2}}$

$=-\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x-y}.\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}}$

$=-(x+y)(y-x)=y^{2}-x^{2}$

d. $\frac{9-x^{2}}{x}:(x-3)=-\frac{x^{2}-9}{x}.\frac{1}{x-3}$

$=\frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}=-\frac{x+3}{x}$

Bài 3 trang 48 SGK toán 8/1 cánh diều

Bài 4 trang 48 SGK toán 8/1 cánh diều

=> Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

=> Giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 5 trang 48 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Theo dự định, xí nghiệp hoàn thành công việc trong x ngày, sản xuất được 120 tấn hàng.

Do đó, phân thức biểu thị số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là $\frac{120}{x}$ tấn hàng.

b) Trên thực tế, xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng.

Khi đó, trên thực tế xí nghiệp hoàn thành công việc trong x – 1 ngày, sản xuất được 125 tấn hàng.

Do đó, phân thức biểu thị số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là $\frac{125}{x-1}$ tấn hàng.

c) Tỉ số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là:

$\frac{120}{x}:\frac{125}{x-1}=\frac{120}{x}.\frac{x-1}{125}=\frac{24x-24}{25}$

Do đó, phân thức biểu thị tỉ số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là $\frac{24x-24}{25}$

Bài 6 trang 48 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Theo đề bài, quãng đường AB dài 160 km và xe ô tô chở hàng đi từ A đến B hết x giờ.

Do đó, phân thức biểu thị tốc độ (vận tốc) xe ô tô khi chạy từ A đến B là $\frac{160}{x}$ (km/h).

b) Theo đề bài, quãng đường AB dài 160 km và xe ô tô chở hàng đi từ B về A hết x – 1 giờ.

Do đó, phân thức biểu thị tốc độ (vận tốc) xe ô tô khi chạy từ B về A là $\frac{160}{x-1}$ (km/h).

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A là:

$\frac{160}{x}:\frac{160}{x-1}=\frac{160}{x}.\frac{x-1}{160}=\frac{x-1}{x}$

Do đó, phân thức biểu thị tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A là $\frac{x-1}{x}$

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học phép nhân và phép chia phần thức đại số toán 8 chương trình mới. Bên cạnh đó VUIHOC cũng hướng dẫn các em cách giải các bài tập trong bài học trong các sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Hy vọng rằng qua bài học, các em có thể nắm được cách thực hiện phép tính nhân, chia phân thức đại số.

>> Mời các em tham khảo thêm: