Đầy đủ và chi tiết bài tập phương trình logarit có lời giải

Các em cùng đọc bảng dưới đây để nhận định về độ khó cũng như vùng kiến thức cần ôn khi làm bài tập phương trình logarit nhé!

Dưới đây là file tổng hợp toàn bộ lý thuyết về phương trình logarit áp dụng trong các bài tập phương trình logarit, các em đừng quên tải về nhé!

Tải xuống file lý thuyết áp dụng để giải bài tập phương trình logarit

1. Lý thuyết chung về logarit và phương trình logarit

1.1. Định nghĩa

Theo kiến thức về lũy thừa - mũ - logarit đã học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Công thức chung của logarit có dạng như sau: 

Logarit có công thức là logab trong đó $b>0, 0<a\neq 1$

Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: $1000=10.10.10=10^3$. Tổng quát hơn, nếu $x=b^y$ thì $y$ được gọi là logarit cơ số $b$ của $x$ và được ký hiệu là $log_bx$.

Có 3 loại logarit:

• Logarit thập phân: là logarit có cơ số 10, viết tắt là $log_{10}b=logb(=lgb)$ có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.

• Logarit tự nhiên: là logarit có cơ số là hằng số $e$, viết tắt là $ln(b)$, $log_e(b)$ có ứng dụng nhiều trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân.

• Logarit nhị phân: là logarit sử dụng cơ số 2, ký hiệu là $log_2b$ có ứng dụng trong khoa học máy tính, lập trình ngôn ngữ C

• Ngoài ra, ta còn 2 cách phân loại khác là logarit phức (là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức) và logarit rời rạc (ứng dụng trong mật mã hoá khoá công khai)

Về phương trình logarit, với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản: $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện $0<a\neq 1$, ta có các phương trình logarit cơ bản dùng để giải các bài tập phương trình logarit như sau:

1.2. Các công thức áp dụng trong bài tập phương trình logarit

Một số công thức biến đổi logarit vận dụng để giải các bài tập phương trình logarit được VUIHOC tổng hợp tại bảng sau đây, các em lưu ý nhé:

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để biến đổi phương trình logarit mà các em cần ghi nhớ:

 quy tắc logarit của 1 tích:

– Công thức logarit của một tích như sau: $log(a.b)=log(a)+log(b)$

– Điều kiện: $a, b$ đều là số dương với $0<1$ 

– Đây là logarit hai số $a$ và $b$ thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số $a=10$ là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số $e$ là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

– Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa:

– Ta có công thức logarit như sau: $log_ab=log_ab$

– Điều kiện với mọi số $\alpha$ và $a, b$ là số dương với $0<1$

Đối với phương trình logarit, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức dưới đây:

2. 4 dạng bài tập phương trình logarit có lời giải

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Một lưu ý nhỏ cho các em đó là trong quá trình biến đổi để tìm ra cách giải pt logarit, chúng ta thường quên việc kiểm soát miền xác định của phương trình. Vì vậy để cho an toàn thì ngoài phương trình logarit cơ bản, các bạn nên đặt điều kiện xác định cho phương trình trước khi biến đổi.

Phương pháp giải dạng toán này như sau:

Trường hợp 1: $Log_af(x)=b => f(x)=a^b$

Trường hợp 2: $Log_af(x)=log_ag(x) khi và chỉ khi f(x)=g(x)$

Ta cùng xét ví dụ sau để rõ hơn bài tập phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

2.2. Giải bài tập phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Ở cách giải bài tập phương trình logarit này, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q[log_af(x)]=0$ => Đặt $t=log_ax$ ($x\in \mathbb{R}$)

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ bài tập phương trình logarit có lời giải sau đây:

2.3. Mũ hoá giải bài tập phương trình logarit

Bản chất của việc giải bài tập phương trình logarit cơ bản (ở trên) cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta có thể thử áp dụng mũ hóa 2 vế để giải.

Phương trình $log_af(x)=log_bg(x) (a>0, a\neq 1)$

Ta đặt $log_af(x) = log_bg(x)=t$ => Hoặc $f(x)=a^t$ hoặc $g(x)=b^t$

=> Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.

VD: Tìm nghiệm của phương trình : $log_2(2x+6)=2x+1$

2.4. Dùng đồ thị giải bài tập phương trình logarit

Giải phương trình: $logax=f(x) (0<a\neq 1)$ (Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị  $y=logax(0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:

• Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y=logax(0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$

• Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị

Ta có ví dụ minh hoạ bài tập phương trình logarit có lời giải theo phương pháp dùng đồ thị như sau:

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo 4 dạng bài tập phương trình logarit trên, các em cần thường xuyên luyện tập để rèn luyện phản xạ nhận diện đề bài. VUIHOC gửi tặng các em bộ bài tập phương trình logarit có lời giải siêu đặc biệt. Hy vọng bộ tài liệu này sẽ đồng hành cùng các em trong thời gian luyện tập cũng như ôn thi THPT quốc gia sắp tới nhé!

Tải xuống file bài tập phương trình logarit có lời giải chọn lọc

Bài viết trên đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết về logarit và phương trình logarit, đồng thời đưa ra cách xử lý của từng phương pháp giải bài tập phương trình logarit. Các em nhớ luyện tập hằng ngày nhé!