Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 10:31 06/12/2023 393,401 Tag Lớp 11

Công thức cấp số cộng và cấp số nhân là nội dung bài học đòi hỏi các bạn học sinh cần ghi nhớ rõ để dễ dàng áp dụng vào bài tập. Đây cũng là dạng toán thường gặp trong kì thi đại học, vì vậy Vuihoc sẽ mang đến cho các em học sinh bài tổng hợp đầy đủ công thức về cấp số cộng cấp số nhân.

Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

Un là cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n∈N
q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Số hạng tổng quát

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

Tính chất của cấp số nhân

Công thức cấp số cộng cấp số nhân và tính chất

Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cấp số cộng và cấp số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đó chúng ta có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: u_n + 1 = u_n + d

Trong đó có d là công sai = u_n + 1 – u_n

Số hạng tổng quát

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Tính chất cấp số cộng

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Tổng n số hạng đầu

$S_{n} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}; n\in \mathbb{N}^{*}$

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d$

$S_{n} = \frac{n[2u_{1} + (n - 1)d]}{2}$

2. Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này.

2.1. Công thức cấp số cộng

Công thức cấp số cộng tổng quát:

u_n= u_m+ (n-m)d

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là: u₂ = u₇ + (2 - 7)d = 100 - 5.2 = 90

Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}u_{k} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

$S_{20} = \frac{20.(2.3 + 19.2)}{2} = 440$

2.2. Công thức cấp số nhân

Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0. Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Giải bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

u_n = u₁.q^n-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$u_{k}^{2} = u_{k - 1}. u_{k + 1}$ , $\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức ta có:

Giải bài tập ví dụ công thức cấp số cộng và cấp số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập

Đăng ký ngay khóa học DUO 11 để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

(u_n): $\left\{\begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\\ u_{1} +12d = -34 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2\\ d = -3 \end{matrix}\right.$

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng

$u_{n}: \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:

$\left\{\begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\\ u_{1} + 4d = 13 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là u_n= u₁+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cấp số cộng

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính S = u₁ + u₄+ u₇+…+ u₂₀₁₁?

Giải:

Ta có các số hạng u₁, u₄, u₇,…,u₂₀₁₁ lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có:

$S = \frac{670}{2}(2u_{1} + 669d') = 673015$

Bài 5: Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\\ u_{1} + 6d = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác 0 hãy tìm u₁ biết rằng:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\\ u_{1}^{2}\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = \frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = \frac{45}{17}$

$\Leftrightarrow$ q = 2 hoặc q = $\frac{1}{2}$

Kết luận u₁= 1 hoặc u₁= 8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{243} = q^{5}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q = \frac{1}{3}\\ u_{1} = 2 \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u₁= 2, u₂= 23, u₃= 29, u₄= 27, u₅= 281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

$(u^{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}\frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.\frac{(\frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = \frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

Hãy tính công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

Giải:

a. Từ giả thiết mà đề bài đã cho ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{39}{11}\\ u_{1} + u_{1}q^{4} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{81}{11}\frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Hy vọng các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà VUIHOC mang đến phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình giải bài tập cấp số cộng, cấp số nhân trong chương trình Toán 11. Các bạn học sinh hãy đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên Vuihoc.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.

>> Xem thêm:

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Ôn thi toán tốt nghiệp THPT