Chiến trọn từ A đến Z kiến thức về đạo hàm hàm số mũ

Tác giả Minh Châu 15:27 01/12/2023 10,142 Tag Lớp 12

Đạo hàm hàm số mũ có công thức ra sao? Ứng dụng của đạo hàm hàm số mũ vào các bài tập như thế nào? Có mười vạn thắc mắc của các em học sinh THPT gửi đến VUIHOC hỏi về khối kiến thức này. Hôm nay, cùng VUIHOC tìm hiểu đạo hàm hàm số mũ từ A đến Z nhé!

Chiến trọn từ A đến Z kiến thức về đạo hàm hàm số mũ

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Trước khi tiến hành ôn tập lý thuyết chi tiết và bài tập thực hành về đạo hàm hàm số mũ, các em hãy cùng VUIHOC tổng quát lại chung nhất về dạng kiến thức này ở bảng sau:

tổng quan về đạo hàm hàm số mũ

Để chi tiết hơn và tiện lợi hơn trong ôn tập chung, file dưới đây đã tổng hợp lại toàn bộ lý thuyết kèm công thức có liên quan đến hàm số mũ và đạo hàm hàm số mũ. Các em nhớ tải về và học thuộc nhé!

Tải xuống file lý thuyết đạo hàm hàm số mũ siêu chi tiết

1. Lý thuyết chung về đạo hàm

1.1. Định nghĩa và ý nghĩa toán học

Bản chất của đạo hàm được hiểu ngay từ tên gọi của nó. Xét từ nghĩa Hán Việt của đạo hàm, Đạo nghĩa là đường đi, hướng đi; Hàm nghĩa là hàm số.

Đạo hàm hiểu nôm na là hướng đi của hàm số. Gộp 2 từ lại, các em sẽ hiểu nó là thứ chỉ đạo sự biến thiên của hàm số $f(x)$ là sẽ tăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm.

Ta có định nghĩa như sau:

Đạo hàm của $f(x)$ (ký hiệu là $f’(x)$) nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm $f(x)$ tại một điểm $x$ xác định nào đó. Giá trị của đạo hàm tại $x_{0}$ chính là giá trị của độ dốc (hay hệ số góc) của đường tiếp tuyến với hàm số $f(x)$ tại $x_{0}$ (xem phần độ dốc phía dưới).

Nếu tại điểm $x_{0}$ giá trị hàm số đang tăng thì $f(x_{0})>0$ , đang giảm thì $f(x_{0})<0$ , còn nếu $f(x_{0})=0$ thì hàm số đang tại chóp ở $x_{0}$ và chuẩn bị đổi chiều, nhưng muốn biết là đổi từ chiều nào sang chiều nào thì phải xét đạo hàm cấp 2 (giải thích phía dưới).
Nếu tại điểm $x_{0}$ mà $\left | f'(x_{0}) \right |$ lớn thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) nhanh, còn nếu $\left | f'(x_{0}) \right |$ nhỏ thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) chậm.
Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được ký hiệu là $y'(x_{0})$ hoặc $f'(x_{0})$ .

Hoặc

2.2. Một số quy tắc áp dụng trong đạo hàm hàm số mũ

Có một số quy tắc đạo hàm liên quan trực tiếp đến công thức và cách biến đổi khi làm bài tập đạo hàm hàm số mũ. Các em cần đọc kỹ và nắm vững phần này để giải bài tập nhanh nhất.

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
- Định lý 1: Hàm số $y=x^{n}$ $(n\in \mathbb{N}, n>1)$ có đạo hàm với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $(x^{n})'=n.x^{n-1}$
- Định lý 2: Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm với mọi x dương và $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
- Định lý 3: Giả sử $u=u(x)$, $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định, ta có:

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì $(ku)’=ku’$
Hệ quả 2: $(\frac{1}{v})=-\frac{v'}{v^{2}} (v=v(x)\neq 0)$
Đạo hàm của hàm hợp: (định lý 4) Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u'_{x}$ và hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm tại u là $y'_{u}$ thì hàm hợp $y=f(g(x))$ có đạo hàm (theo $x$) là $y'_{x}=y'_{u}.u'_{x}$ . Ta có bảng sau:

2. Lý thuyết đạo hàm hàm số mũ từ A đến Z

2.1. Định nghĩa hàm số mũ

Trong chương trình Giải tích THPT, các em đã được học lý thuyết về hàm số mũ như sau: Hàm số mũ là hàm số có dạng $y=a^{x}$ với $a>0, a\neq 1$ .

Xét hàm số mũ $y=a^{x}$ với $a>0, a\neq 1$ , ta có tính chất của hàm số mũ như sau:

Tập xác định: $\mathbb{R}$
Đạo hàm: $x\in \mathbb{R}$ , $y'=a^{x}.lna$
Chiều biến thiên:
- Nếu $a>1$: hàm số luôn đồng biến
- Nếu $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến
Đồ thị:

Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang
Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành và luôn cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ và luôn đi qua điểm $(1;a)$.

2.2. Công thức đạo hàm hàm số mũ

Dưới đây là tổng hợp 3 công thức đạo hàm hàm số mũ cơ bản mà các em đã được học trong chương trình THPT. 3 công thức này bắt buộc các em phải ghi nhớ để vận dụng vào làm bài tập. Nhớ lưu lại để học thuộc nhé!

2.3. Một số dạng bài tập áp dụng đạo hàm hàm số mũ

Dạng 1: Dùng đạo hàm hàm số mũ tìm tập xác định

Đây là dạng bài áp dụng đạo hàm hàm số mũ cơ bản và rất phổ biến trong các bài toán có liên quan đến hàm số, đồ thị. Đối với hàm số mũ $y=a^{x}$ (a > 0; a ≠ 1) có tập xác định là $\mathbb{R}$ . Nên khi bài toán yêu cầu tìm tập xác định của hàm số mũ $y=a^{f(x)}$ (a > 0; a ≠ 1) ta chỉ cần tìm điều kiện để $f(x)$ có nghĩa (xác định).

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số mũ sau:

Ví dụ dạng bài tìm tập xác định - đạo hàm hàm số mũ

Dạng 2: Dạng tính đạo hàm hàm số mũ

Dạng bài tập này chủ yếu để các em học sinh luyện tập thành thạo công thức đạo hàm hàm số mũ để chuẩn bị cho các bài tập vận dụng cao hơn. Dạng này thường không đánh đố, cho nên các em cần hạn chế sai nhiều nhất có thể.

Ví dụ 1:

Ví dụ dạng bài tính đạo hàm hàm số mũ

Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số mũ sau:

$y=(x^{2}+1).2^{2x}$

Giải:

Là một hàm số có dạng tích của một hàm đa thức với một hàm số mũ. Vì vậy, ngoài việc áp dụng công thức đạo hàm hàm số mũ thì chúng ta cần sử dụng đạo hàm của một tích và đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Ta có: $y=(x^{2}+1).2^{2x}$

$=>y'=(x^{2}+1)'.2^{2x}+(x^{2}+1).(2^{2x})'$ (áp dụng đạo hàm $a^{u}$ )

$\Rightarrow y'=2x.2^{2x}+(x^{2}+1).(2x)'.2^{2x}.ln2$

$\Rightarrow y'=2x.2^{2x}+(x^{2}+1).2.2^{2x}.ln2$

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm hàm số mũ tính GTLN - GTNN

Sử dụng đạo hàm hàm số mũ để tính GTLN - GTNN là bài tập vận dụng kiến thức đạo hàm ở mức độ cao hơn hai dạng trước. Các em cùng xem xét ví dụ sau:

Ví dụ dạng bài GTLN GTNN - đạo hàm hàm số mũ

Giải ví dụ dạng bài GTLN GTNN - đạo hàm hàm số mũ

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

3. Bài tập áp dụng

Để tăng tốc giải bài tập đạo hàm hàm số mũ, VUIHOC đã soạn và tặng riêng em bộ đề luyện đạo hàm hàm số mũ cực sát các câu hỏi trong các bài kiểm tra và đề thi để các em luyện tập. Nhớ tải về và làm thử nhé!

Tải xuống file bài tập đạo hàm hàm số mũ

Thầy Thành Đức Trung của VUIHOC đã có buổi livestream chữa đề liên quan đến đạo hàm hàm số mũ. Thầy có vô cùng nhiều những tips giải nhanh và chính xác đối với dạng bài này. Các em đón xem tại clip sau đây để học hỏi phương pháp từ thầy nhé!

Trên đây là tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập đạo hàm hàm số mũ theo chương trình THPT. Các em nhớ ôn luyện hằng ngày để luôn nắm chắc phần kiến thức này nhé!

>> Xem thêm: Đạo hàm của hàm số lượng giác