Đề cương ôn thi giữa kì 2 môn toán 11 chi tiết

Tác giả Hoàng Uyên 10:04 10/01/2024 5,514 Tag Lớp 11

Để làm tốt bài thi giữa kì 2 môn Toán 11, các em cần ôn tập thật kỹ các kiến thức trọng tâm. Tham khảo ngay đề cương ôn thi giữa kì 2 môn toán 11 của VUIHOC dưới đây.

Đề cương ôn thi giữa kì 2 môn toán 11 chi tiết

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Trọng tâm kiến thức ôn thi giữa kì 2 môn Toán 11

1.1 Lũy thừa với số mũ thực

a. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Cho n là một số nguyên dương, ta có:

Với a là số thực tùy ý: aⁿ = a.a....a ( n thừa số).
Với a là số thực khác 0: a^o = 1 ; a^-n = 1/aⁿ.
Trong biểu thức a^m, a là cơ số, m là số mũ.

- Với a $\neq$ 0, b $\neq$ 0, m và n là các số nguyên ta có:

a^m.aⁿ = a^m+n
(a^m)ⁿ = a^m.n
$\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{a^{n}}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
(a.b)^m = a^m.b^m

- Lưu ý: Nếu a > 1 thì $\large a^{m}>a^{n}\Leftrightarrow m> n$ ; Nếu 0 < a < 1 thì $\large a^{m}>a^{n}\Leftrightarrow m< n$

b. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a

- Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

$\large \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
$\large \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$\large (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$
$\large \sqrt[n]{a^{n}}$ = a khi n lẻ ; $\large \sqrt[n]{a^{n}}$ = |a| khi n chẵn
$\large \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

- Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = m/n, trong đó m là số nguyên và n là số nguyên dương. Lũy thừa của a và số mũ r, kí hiệu là a^r, xác định bởi a^r = a^m/n = $\large \sqrt[n]{a^{m}}$

c. Lũy thừa với số mũ thực

- Cho a là số thực dương và $\large \alpha$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ (r_n) mà $\large \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=\alpha$ . Khi đó, dãy số $\large (a^{r_{n}})$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (r_n) đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ $\large \alpha$ , kí hiệu là a^.

$\large a^{\alpha }=\lim_{n\rightarrow +\infty }a^{r_{n}}$

1.2 Logarit

a. Khái niệm

- Cho a là một số thực dương $\large \neq$ 1 và M là một số thực dương. Số thực $\large \alpha$ để a = M được gọi là logarit cơ số a của M và kí hiệu là log_aM

$\large \alpha =log_{a}M\Leftrightarrow a^{\alpha }=M$

- Chú ý: Với 0 < a $\large \neq$ 1, M > 0 và $\large \alpha$ là số thực tùy ý, ta có:

$\large log_{a}1=0;log_{a}a=1$
$\large a^{log_{a}M}=M;log_{a}a^{\alpha }=\alpha$

b. Tính chất:

- Quy tắc tính logarit: Giả sử a là số thực dương $\large \neq$ 1. M và N là các số thực dương, $\large \alpha$ là số thực tùy ý:

log_a(MN) = log_aM + log_aN
log_a(M/N) = log_aM - log_aN
log_aM = $\large \alpha$ log_aM

- Đổi cơ số logarit: Với các cơ số logarit a và b bất kì ( 0 < a $\large \neq$ 1, 0 < b $\large \neq$ 1) và M là số thực dương tùy ý, ta có:

$\large log_{a}M=\frac{log_{b}M}{log_{b}a}$

1.3 Hàm số mũ, hàm số logarit

a. Hàm số mũ

- Cho a là số thực dương $\large \neq$ 1. Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

- Đồ thị hàm số mũ y = a^x

Có tập xác định là R và tập giá trị là (0 ; $\large +\infty$ )
Đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a < 1
Liên tục trên R
Có đồ thị đi qua các điểm (0;1) ; (1;a) và luôn nằm phía trên trục hoành.

b. Hàm số logrit

- Cho a là số thực dương $\large \neq$ 1. Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

- Đồ thị hàm số logarti: y = log_ax

Có tập xác định là (0 ; $\large +\infty$ ) và tập giá trị là R
Đồng biến trên (0 ; $\large +\infty$ ) khi a > 1 và nghịch biến trên (0 ; $\large +\infty$ ) khi 0 < a < 1
Liên tục trên (0 ; $\large +\infty$ )
Có đồ thị đi qua các điểm (1;0); (a;1) và luôn nằm bên phải trục tung.

1.4 Hai đường thẳng vuông góc

a. Góc giữa hai đường thẳng:

- Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m,n) là góc giữ hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ướng song song với m và n.

b. Hai đường thẳng vuông góc:

- Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau (a $\large \perp$ b) nếu góc giữa chúng bằng 90^o.

1.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Đường thẳng $\large \Delta$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu $\large \Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

b. Tính chất:

- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c. Liên hệ

- Nếu đường thẳng a $\large \perp$ (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với ( P).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

- Nếu đường thẳng $\large \Delta$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\large \Delta$ cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

- Nếu đường thẳng $\large \Delta$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\large \Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P).

- Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng $\large \Delta$ thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P).

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức toán vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

1.6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a. Phép chiếu vuông góc

- Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương $\large \Delta$ vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

- Định lý 3 đường vuông góc: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a' của a trên (P).

b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90^o.

- Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

2. Những dạng bài cần chú ý khi ôn thi giữa kì 2 môn Toán 11

2.1 Dạng bài về lũy thừa

a. Áp dụng tính chất lũy thừa để giải một số bài toán

Bài 1: Tính các phép toán lũy thừa dưới đây:

$\large 8^{\frac{9}{7}}:8^{\frac{2}{7}}-3^{\frac{6}{5}}.3^{\frac{4}{5}}$
$\large (0,04)^{-1,5}-(0,125)^{\frac{-2}{3}}$
$\large 4^{3+\sqrt{2}}.2^{1-\sqrt{2}}.2^{-4-\sqrt{2}}$

Lời giải

$\large 8^{\frac{9}{7}}:8^{\frac{2}{7}}-3^{\frac{6}{5}}.3^{\frac{4}{5}}=8^{\frac{7}{7}}-3^{\frac{10}{5}}=8-9=-1$

$(0,04)^{-1,5}-(0,125)^{\frac{-2}{3}}=(0,2^{2})^{\frac{-3}{2}} -(0,5^{3})^{\frac{-2}{3}}=(0,2)^{-3}-(0,5)^{-2}$ = 121

$\large 4^{3+\sqrt{2}}.2^{1-\sqrt{2}}.2^{-4-\sqrt{2}}=2^{2(3+\sqrt{2})}.2^{1-\sqrt{2}}.2^{-4-\sqrt{2}}=2^{3}=8$

Bài 2: So sánh các cặp số

a. $\large 2^{\sqrt{3}}$ và $\large 2^{1,7}$

b. $\large \left (\frac{1}{3} \right )^{\sqrt{3}}$ và $\large \left (\frac{1}{3} \right )^{\sqrt{2}}$

c. $\large \sqrt[3]{10}$ và $\large \sqrt[5]{20}$

Lời giải:

a. Do cơ số a = 2 > 1 và $\large \sqrt{3} > 1,7$ nên $\large 2^{\sqrt{3}}$ > $\large 2^{1,7}$

b. Do cơ số a = 1/3 và $\large \sqrt{3} > \sqrt{2}$ nên $\large \left (\frac{1}{3} \right )^{\sqrt{3}}$ < $\large \left (\frac{1}{3} \right )^{\sqrt{2}}$
c. $\large \sqrt[3]{10}=\sqrt[15]{10^{5}}=\sqrt[15]{100000}$

$\large \sqrt[5]{20}=\sqrt[15]{20^{3}}=\sqrt[15]{8000}$

Do 100000 > 8000 nên $\large \sqrt[3]{10}$ > $\large \sqrt[5]{20}$

b. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a, y = (1 - x)^-1/3

b, y = (x² - 4x + 3)^-2

c, y = (x³ - 8)^/3

d, y = (2x - 1)^o

Lời giải

a. Hàm số xác định khi 1 - x > 0 $\large \Leftrightarrow$ x < 1 => TXĐ: D = ( $\large -\infty$ ; 1)

b. y = (x² - 4x + 3)^-2 có TXĐ: D = R \ {1;3}

c. y = (x³ - 8)^/3 có TXĐ: D = (2; + $\large \infty$ )

d. y = (2x - 1)^o có TXĐ: D = R\{1/2}

2.2 Dạng bài về logarit

a. Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Cách làm:

Tìm điều kiện của phương trình (nếu có)
Đưa các logarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số
Biến đổi phương trình về phương trình logarit cơ bản
Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình log₃(x² - x +1) = -log_1/3(2x - 1)

Lời giải:

log₃(x² - x +1) = -log_1/3(2x - 1)

$\large \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-x+1)=log_{3}(2x-1)$

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-1>0 & \\ x^{2}-x+1=2x-1 & \end{matrix}\right.$

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>\frac{1}{2} & \\ x^{2}-3x+2=0& \end{matrix}\right.$

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>\frac{1}{2} & \\ x =1 ; x =2& \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là {1;2}

b. Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa:

Cách làm:

Phương trình log_a[f(x)]=log_b[g(x)] (với a>0;a≠1)

Ta đặt log_a[f(x)]=log_b[g(x)]=t

$\large t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=a^{t} & \\ g(x)=b^{t} & \end{matrix}\right.$

Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x

Ví dụ: Giải phương trình log₃(x + 1) = log₂x

Lời giải:

Điều kiện x > 0. Đặt log₃(x+1) = log₂x = t

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=3^{t} & \\ x=2^{t} & \end{matrix}\right.$

Khi đó 2^t + 1 = 3^t $\large \Leftrightarrow$ f(t) = (2/3)^t + (1/3)^t = 1.

Xét f(t) = (2/3)^t + (1/3)^t (t $\large \in$ R) ta có f'(t) < 0 ( $\large \forall$ t $\large \in$ R) => Hàm số f(t) nghịch biến trên R.

Khi đó f(t) = 1 $\large \Leftrightarrow$ f(t) = f(1) $\large \Leftrightarrow$ t = 1 $\large \Leftrightarrow$ x = 2^t = 2

c. Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Cách làm:

Giải phương trình: f[log_ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1).

• Bước 1: Đặt t = log_ag(x) (*).

• Bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

• Bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

•Bước 4: Thay vào (*) để tìm x.

Ví dụ: Giải phương trình log₂x + $\large \sqrt{10log_{2}x+6}=9$ (1)

Lời giải:

Đặt t = log₂x với x > 0 và 10log₂x + 6 $\large \geq$ 0

Phương trình (1) đưa về dạng: $\large \sqrt{10t+6}=9-t \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9-t\geq 0 & \\ 10t+6=(9-t)^{2} & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình tìm được t = 3 => x = 8

Vậy phương trình có nghiệm x = 8.

Đăng ký đặt mua bộ sách cán đích 9+ để nhận ưu đãi lên đến 50% của vuihoc bạn nhé!

2.3 Dạng bài về đường thẳng

a. Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Cách làm: Sử dụng 1 trong 4 cách sau:

Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng rồi chứng minh chúng song song trong hình học phẳng.
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3.
Áp dụng định lý giao tuyến song song
2 mặt phẳng phân biệt chứa 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng cũng song song hoặc trùng với 1 trong 2 đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD, gọi I và J lần lượt và trọng tâm các $\large \Delta$ ABC và $\large \Delta$ ABD. Chứng minh IJ // CD.

Lời giải:

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

=>MN là đường trung bình của $\large \Delta$ BCD nên MN // CD (1)

Do I và J lần lượt là trọng tâm các $\large \Delta$ ABC và ABD

$\large \Rightarrow \frac{AI}{AM}=\frac{AJ}{AN}=\frac{2}{3}$

=> IJ // MN (2)

Từ (1) và (2) => IJ // CD.

b. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Cách làm: Lựa chọn một trong các cách sau để chứng minh

Chứng minh đường thẳng a // (P) ta chứng minh a // b trong đó b $\large \subset$ (P)
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang hoặc định lý talet đảo để chứng minh.
Áp đụng định lý: Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của $\large \Delta$ ABD; Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB; gọi P là trung điểm của AB. Hãy chứng minh GQ // mp(BCD)

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BD. Vì G là trọng tâm $\large \Delta$ ABD

$\large \Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{2}{3} (1)$

Có điểm Q thuộc AB thỏa mãn AQ = 2QB

$\large \Rightarrow \frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3} (2)$

Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{AQ}{AB}$

=> GQ // BD ( ĐL talet đảo)

Mặt khác có BD nằm trong mp(BCD) => GQ // mp (BCD)

c. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách 1: Chứng minh mp ( $\large \alpha$ ) có 2 đường thẳng a và b cắt nhau cùng song song với mp ( $\large \beta$ )

Cách 2: Chứng minh 2 mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M; N: I theo thứ tự là trung điểm của SA; SD và AB. Hãy chứng minh (MON) // (SBC)?

Ta có MN là đường trung bình của $\large \Delta$ SAD => MN // AD (1). Ta có OP là đường trung bình của $\large \Delta$ ABC => OP // BC // AD (2)

Từ (1) và (2) => MN // OP // AD => 4 điểm M, N, O, P đồng phẳng.

Ta có:

$\large \left\{\begin{matrix} MP//SB & & \\ OP//BC& & \\ MP;OP \subset (MNOP) ; SB; BC \subset (SBC)& & \end{matrix}\right.$

=> (MNOP) // (SBC) hay (MON) // (SBC)

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức trọng tâm ôn thi giữa kì 2 môn toán 11 mà vuihoc đã tổng hợp dựa trên các bài học trong chương trình toán 11. Để làm tốt bài thi giữu kì, các em cần ghi nhớ và nắm chắc lý thuyết. Chúc các em hoàn thành tốt bài thi giữa kì 1 môn toán và đừng quên truy cập trang web vuihoc.vn để học thêm nhiều kiến thức hữu ích khác nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: