Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α).

Ký hiệu: d ⊥ (α).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí

Trong trường hợp nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trên cùng một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau

Hệ quả

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó

3. Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tính chất 1

Nếu cho trước một điểm và một đường thẳng, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng chứa điểm đó và vuông góc với đường thẳng đã cho.

Đăng ký ngay khóa học DUO 11 để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất!

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Nếu mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc đoạn thẳng đó thì mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

Tính chất 2

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song của mặt phẳng và đường thẳng

Tính chất số 1

Cho 2 đường thẳng song song. Nếu có một mặt phẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng thì mặt phẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Và ngược lại, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng nào đó thì 2 đường thẳng này song song với nhau.

Tính chất số 2

Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu có một đường thẳng vuông góc với một trong 2 mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Và ngược lại, nếu có 2 mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng bất kì thì 2 mặt phẳng đó song song với nhau.

Tính chất số 3

Nếu có  mặt phẳng (α) song song với đường thẳng a cho trước. Nếu có 1 đường thẳng b nào đó vuông góc với mặt phẳng (α) thì đường thẳng b cũng vuông góc với a.

Và ngược lại, nếu có một đường thẳng và một mặt phẳng (đường thẳng không thuộc mặt phẳng) và cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng sẽ song song với nhau.

5. Định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa ba đường vuông góc

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) cho trước theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí về 3 đường vuông góc

Cho một đường thẳng a bất kì không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Lúc này điều kiện cần và đủ để đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a là b vuông góc với hình chiếu a’ của đường thẳng a trên mặt phẳng (P).

6. Góc giữa mặt phẳng và đường thẳng

Định nghĩa góc giữa mặt phẳng và đường thẳng

Trong trường hợp có một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 độ.

Trong trường hợp nếu có một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước thì góc được xác định giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chi tiết các em học sinh có thể tham khảo bài viết: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 

Lưu ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có miền xác định của góc φ là: 0° ≤ φ ≤ 90°.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11. Hy vọng với bài viết trên, các em học sinh có thể nắm chắc kiến thức của chuyên đề này cũng như dễ dàng giải quyết các dạng bài tập trong quá trình học hay ôn thi THPT môn Toán. Để tham khảo thêm các kiến thức về các môn học, các em học sinh có thể truy cập trực tiếp vuihoc.vn.

Bài viết tham khảo thêm:

Hai đường thẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc