Làm chủ mọi bài tập giải bất phương trình logarit khác cơ số

Để giải được bài toán về bất phương trình Logarit khác cơ sơ trước hết phải nắm được kiến thức tổng quan về phương trình mũ và Logarit. Xem ngay bảng dưới đây nhé!

1. Ôn lại lý thuyết về bất phương trình logarit

1.1. Công thức bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng cơ bản là: $log_{a}x > 0; log_{a}x\geqslant b; log_{a}x < b; log_{a}x\leqslant b$ với điều kiện $a > 0; a\neq 1$

1.2. Định nghĩa về bất phương trình logarit khác cơ số

Bất phương trình logarit khác cơ số là những dạng bất phương trình có cơ số a ở hai vế không đồng nhất. Để giải được các dạng bất phương trình này, ta cần sử dụng công thức và biến đổi sao cho về dạng nhân tử chung hoặc cùng cơ số.
Công thức biến đổi chủ yếu sử dụng để giải bất phương trình logarit khác cơ số:

$log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$

2. Tổng hợp 3 phương pháp giải phương trình logarit khác cơ số

2.1. Phương pháp đổi cơ số

Phương pháp đổi cơ số được coi là cách đơn giản nhất để giải bất phương trình logarit khác cơ số cơ bản. Hiểu đơn giản phương pháp này là cách mũ hoá theo cùng một cơ số cho cả hai vế của bất phương trình logarit. Ta có ví dụ minh hoạ như sau:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình Logarit $log_{\frac{1}{3}}(x+1)\leqslant log_{3}(2-x)$
Giải:

Điều kiện $-1 < x < 2$
BPT $\Leftrightarrow log_{\frac{1}{3}}(x+1)\leqslant log_{3}(2-x)\Leftrightarrow log_{3}\frac{1}{x+1}\leqslant log_{3}(2-x))$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1>0 &  & \\ \frac{1}{x+1}\leqslant 2-x &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x>-1 &  & \\ 
\frac{x^{2}-x-1}{x+1} &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{5}}{2}\leqslant x\leqslant \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình $\frac{1}{2}log_{2}(x^{2}+4x-5)> log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{x+7})$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x^{2}+4x-5>0 &  & \\ x+7>0 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\in (-\infty;-5)\cup (1;+\infty ) &  & \\ x>-7 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (-7;-5)\cup (1;+\infty)$

BPT: $\Leftrightarrow log_{2}(x^{2}+4x-5)\geqslant -log_{2}\frac{1}{x+7}\Leftrightarrow log_{2(x^{2}+4x-5)}>log_{2}(x+7)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+4x-5> x^{2}+14x+49 \Leftrightarrow x<\frac{-27}{5}$

Kết hợp điều kiện: BPT có nghiệm $x\in (-7;\frac{-27}{5})$

2.2. Giải bất phương trình logarit khác cơ số bằng cách đặt ẩn phụ 

Phương pháp này giúp chúng ta chuyển các bất phương trình logarit khác cơ số phức tạp như bất phương trình bậc hai, các hệ bất phương trình... thành các bất phương trình đại số quen thuộc.

Ta cùng theo dõi ví dụ sau để hiểu về phương pháp giải bất phương trình logarit khác cơ số này:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình $\sqrt{log_{9}(3x^{2}+4x+2)}+1>log_{9}(3x^{2}+4x+2)$

Giải:

BPT tương đương với $\sqrt{log_{9}(3x^{2}+4x+2)}+1 > 2log_{9}(3x^{2}+4x+2)$

Đặt $t=\sqrt{log_{9}(3x^{2}+4x+2)}$ ($t\geqslant 0$)

Bất phương trình trở thành $t+1 > 2t^{2}\Leftrightarrow 2t^{2}-t-1<0 \Leftrightarrow \frac{-1}{2} <  t < 1$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}log_{9}(3x^{2}+4x+2)\geqslant 0&  & \\ log_{9}(3x^{2}+4x+2)<1 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^{2}+4x+2\geqslant 1 &  & \\ 3x^{2}+4x+2<9 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\leqslant -1  hoặc  x\geqslant \frac{-1}{3} &  & \\ \frac{-7}{3}<x<1 &  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình $log_{3}x.log_{2}x < 2log_{3}x-log_{2}\frac{x}{4}$

Điều kiện $x > 0$ (*)

Viết lại bất phương trình dưới dạng $log_{3}x.log_{2}x-2log_{3}x-log_{2}x < 0$

Đặt: $\left\{\begin{matrix}u=log_{3}x &  & \\ v=log_{2}x &  & \end{matrix}\right.$
$uv-2u-v-2 < 0 \Leftrightarrow (u-1)(v-2) < 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u-1 > 0 &  & \\ v-2 > 0 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}u-1 < 0 &  & \\ v-2 > 0 &  & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}log_{3}x > 1 &  & \\ log_{2}x < 2 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}log_{3}x < 1 &  & \\ log_{2}x > 2  &  & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x > 3 &  & \\ x < 4 &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x < 3 &  & \\ x > 4 &  & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 3 < x < 4$ thỏa mãn (*)

Vậy bất phương trình có nghiệm $3 < x < 4$

2.3. Phương pháp đánh giá -  sử dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình logarit khác cơ số

Phương pháp này thường áp dụng để giải các bài toán bất phương trình logarit khác cơ số khoảng điểm 8+. Ta cùng xem xét ví dụ sau để hiểu hơn về cách áp dụng phương pháp đánh giá để giải bất phương trình logarit khác cơ số:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình $log_{2}(\sqrt{x-2}+4)\leqslant log_{3}(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+8) (1)$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x-2\geqslant 0 &  & \\ x-1 > 0 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geqslant 2$ (*)

Ta có nhận xét sau: 

+)  $\sqrt{x-2}+4\geqslant 4 \Leftrightarrow log_{2}(\sqrt{x-2}+4)\geqslant log_{2}4=2\Leftrightarrow VT\geqslant 2$
$x\geqslant 2\Leftrightarrow x-1\geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-1}}\leqslant 1\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-1}}+8\leqslant 9$

+) $\Leftrightarrow log_{3}(\frac{1}{\sqrt{x-1}}+8)\leqslant log_{3}9=2\Leftrightarrow VT \leqslant 2$

Do đó bất phương trình có nghiệm: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}VT=2 &  & \\ Vt=2 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{x-2}=0 &  & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

3. Bài tập áp dụng giải bất phương trình Logarit khác cơ số

Vì bài tập về bất phương trình logarit là dạng bài lấy điểm cao, cho nên để làm được dạng bài này các bạn học sinh cần luyện tập và làm đề nhiều để hiểu và thành thạo hơn. Trên đây là tổng hợp các phương pháp phổ biến sử dụng để giải bất phương trình logarit khác cơ số, hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em có thêm kiến thức bổ ích phục vụ cho việc học Toán 12 cũng như trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

>>> Bài viết tham khảo thêm:

Giải bất phương trình logarit chứa tham số

Tổng hợp các cách giải bất phương trình mũ và logarit