Tổng ôn từ A đến Z về hàm số mũ

Trước khi đi vào chi tiết, VUIHOC sẽ tổng quát cho em có nhận định chung nhất về hàm số mũ trong chương trình Toán 12 và độ khó của các bài tập liên quan đến dạng toán này ở bảng dưới đây:

VUIHOC gửi tặng em bộ tài liệu đầy đủ lý thuyết về hàm số mũ - các công thức áp dụng để giải bài tập hàm số mũ. File lý thuyết này rất đầy đủ, có thể giúp em tiện lợi hơn rất nhiều trong quá trình ôn tập. Nhớ tải về nhé!

Tải xuống file lý thuyết về hàm số mũ siêu đầy đủ và chi tiết

1. Lý thuyết tổng quan về luỹ thừa

Tại sao ôn tập về lý thuyết hàm số mũ ta phải học lại từ luỹ thừa? Bởi vì, bản chất của hàm số mũ lấy gốc từ luỹ thừa. Hay nói cách khác, hàm số mũ thuộc phạm trù của luỹ thừa (luỹ thừa phát triển được thành 2 dạng hàm số đó là hàm số luỹ thừa và hàm số mũ). Do vậy, các tính nhất, công thức biến đổi và điều kiện của hàm số mũ đều lấy gốc từ luỹ thừa. Khi ta nắm vững kiến thức về luỹ thừa, việc ôn tập lý thuyết hàm số mũ sẽ trở nên rất dễ dàng và nhanh hơn rất nhiều.

1.1. Định nghĩa về luỹ thừa

Lũy thừa (nghĩa là "nhân chồng chất lên") là một phép toán được viết dưới dạng $a^n$, bao gồm hai số, cơ số $a$ và số mũ hoặc lũy thừa $n$, và được phát âm là "$a$ lũy thừa $n$". Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số:

Chú ý: Ta có $a^1=a$, và, với mọi số nguyên dương $m$ và $n$, ta có $a^m.a^n=a^{m+n}$. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, a0 được định nghĩa là 1, $a^{−n}$ (với n là số nguyên dương và $a$ không phải là 0) được định nghĩa là 1an. Đặc  biệt, $a^{-1}$ bằng $\frac{1}{a}$ , nghịch đảo của $a$.

1.2. Tính chất của luỹ thừa có liên quan đến biến đổi hàm số mũ

Các tính chất của luỹ thừa có liên quan trực tiếp đến lý thuyết hàm số mũ, đặc biệt là trong quá trình biến đổi, tính toán. Vì thế, VUIHOC cùng các em ôn lại các tính chất lũy thừa sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

• Tính chất về bất đẳng thức: 

  • So sánh cùng cơ số: Cho $m, n \in \mathbb{R}$. Khi đó:

Trường hợp 1: Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$

Trường hợp 2: Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n

• So sánh cùng số mũ:

Trường hợp 1: Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$

Trường hợp 2: Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia

2. Lý thuyết hàm số mũ

2.1. Định nghĩa và điều kiện của hàm số mũ

Mở đầu về lý thuyết hàm số mũ, ta cần tìm hiểu về định nghĩa cơ bản đầu tiên. Hiểu đơn giản, hàm số mũ là hàm số mà trong đó có chứa biểu thức mũ.

Theo kiến thức THPT đã được học, định nghĩa của hàm số mũ theo công thức tổng quát có dạng: Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

2.2. Tính chất

Từ định nghĩa, đạo hàm và sau khi khảo sát đồ thị, ta rút ra được tính chất của hàm số mũ như sau:

Xét hàm số $y=a^x$ với a>0, $a\neq 1$:

2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Đây là là phần kiến thức quan trọng và cũng là dạng bài tập rất phổ biến trong chương trình học và các đề thi, xuất hiện ở nhiều dạng cơ bản lên đến vận dụng cao. Để biết được hàm số mũ đồng biến khi nào, hàm số mũ nghịch biến khi nào, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ là chìa khoá để trả lời cho câu hỏi đó.

Về tổng quát, hàm số mũ được khảo sát như sau:

Tập xác định: $D= \mathbb{R}$

Chiều biến thiên:

• Nếu $a>1$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

• Nếu $0<a<1$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Đồ thị:

• Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$

• Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $(0;1)$ và $(1;a)$

• Đồ thị nằm hoàn toàn trên phía trục hoành vì $a^x>0$, $x\in \mathbb{R}$

Dáng đồ thị:

3. Một số dạng bài tập hàm số mũ cơ bản

VUIHOC đã tổng hợp cho các em 5 dạng bài tập hàm số mũ và phương trình hàm số mũ đã xuất hiện trong các đề kiểm tra và các kỳ thi quan trọng trong THPT. Các em cần lưu ý rằng dù dạng bài nào thì chúng ta cũng phải nắm vững lý thuyết hàm số mũ và các công thức trước tiên. 

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Đây là dạng cơ bản và rất dễ xuất hiện trong các câu trắc nghiệm đề thi đại học. Để làm được các bài toán tìm hàm số mũ có đồ thị cho trước, ta thực hiện theo 2 bước sau:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương để áp dụng giải bài toán. Cụ thể, các em thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số

Ở dạng này, các em áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Đây là dạng toán thường xuất hiện trong các câu hỏi phương trình hàm số mũ, bất phương trình hàm số mũ vận dụng - vận dụng cao của các đề thi. Để làm được các bài tập dạng này, các em cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

• Bước 1: Tính $y’$, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,... ,$x_n$ thuộc $[a;b]$ của phương trình $y’=0$

• Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,... ,$f(x_n)$

• Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số

  • GTNN m là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được

  • GTLN M là số lớn nhất trong các giá trị tính được

4. Bài tập áp dụng

Để thành thạo hơn trong việc áp dụng lý thuyết hàm số mũ để thực hành giải các dạng bài tập hàm số mũ, phương trình hàm số mũ, VUIHOC đã soạn riêng dành tặng em full bộ bài tập hàm số mũ bao gồm các dạng bài chọn lọc sát các đề thi nhất, kèm giải chi tiết. Các em nhớ tải về để luyện tập hằng ngày nhé!

>>>Tải xuống file full bộ bài tập hàm số mũ chọn lọc, có giải chi tiết<<<

 Các em vừa cùng VUIHOC ôn lại toàn bộ lý thuyết về phương trình hàm số mũ, hàm số mũ và điểm lại tất cả các dạng bài tập. Đây là một trong những dạng bài thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT nên các em cần đặc biệt lưu tâm trong quá trình ôn thi Toán THPT Quốc gia. Chúc các em có kết quả tốt trong thời gian sắp tới.

>>> Các bài viết liên quan:

Đồ thị hàm số mũ và logarit

Trọn bộ lý thuyết hàm số mũ và logarit siêu chi tiết