Phương pháp quy nạp toán học: Lý thuyết và bài tập

1. Phương pháp quy nạp toán học là gì?

- Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp chứng minh mệnh đề về bất kỳ môt tập hợp nào được sắp xếp theo thứ tự. Phương pháp này thường dùng để chứng minh các mệnh đề áp dụng cho tập hợp các số tự nhiên. 

- Phương pháp quy nạp toán học là hình thức chứng minh trực tiếp, bao gồm 2 bước: 

+ Bước 1: Được gọi là bước cơ sở khi chứng minh mệnh đề đúng cho tập số tự nhiên, đây là bước chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên. 

+ Bước 2: Được gọi là bước quy nạp, đây là bước chứng minh mệnh đề giả định đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ. 

=> Sau khi chứng minh xong 2 bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề này là đúng với mọi số tự nhiên. 

>> Mời bạn tham khảo: Tổng hợp kiến thức toán 11 

2. Áp dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh mệnh đề 

- Để chứng minh các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp từng số được thì ta thực hiện theo các bước: 

+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 

+ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đó đúng với mọi số tự nhiên bất kì n = k (K  1)

+ Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

- Tổng quát: Xét mệnh đề P_(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để chứng minh mệnh đề P_(n) đúng với mọi số tự nhiên với n_o cho trước, ta thực hiện các bước như sau: 

+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P_(n)  đúng với n = n_o

+ Bước 2: Giả sử n  n_o đúng khi n = k ( k  n_o)

+ Bước 3: Chứng minh P_(n) đúng khi n = k + 1

=> Theo nguyên lý quy nạp P_(n) đúng với mọi n  n_o

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ bạn nhé! 

3. Các dạng bài tập áp dụng phương pháp quy nạp toán học 

3.1 Dạng bài chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n² (1) với n  N*

Lời giải:

- Khi n = 1 ta có mệnh đề (1): 1 = 1² = 1 ( luôn đúng) 

- Giả sử mệnh đề (1) đúng khi n = k (k  1), ta phải chứng minh được: 

S_k+1 = 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) + 2[2(k + 1) - 1] = (k + 1)²

=>  S_k+1 = S_k + [2(k + 1) - 1] = k² + 2k + 1 = (k+1)²

Vậy mệnh đề 1 luôn đúng với mọi n  N*

Ví dụ 2: Chứng minh 2ⁿ > 2n + 1(1) luôn đúng với mọi số tự nhiên n  3

Lời giải:

- Khi n = 3 ta có 2³ = 8 > 2.3 +1 = 7  

- Giả sử (1) đúng với n = k  3 ( k  N) => 2^k > 2k + 1 (2)

=> Ta cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1

=> 2^k+1 > 2(k + 1) + 1 = 2^k+1 > 2k + 3

- Nhân cả 2 vế của (2) với 2 ta có: 

2.2^k > 2k + 2k + 2  2^k+1 > 2k + 2k + 2 (3) 

Vì k  3 nên 2k  6. Do đó (3)  2^k+1 > 2k + 6 + 2 => 2^k+1 > 2k + 3

=> Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 => Điều cần chứng minh 

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi toán THPT Quốc Gia 

3.2 Dạng bài toán chia hết 

Ví dụ 1: Chứng minh u_n = n³ + 3n² + 5n  3 (1) với mọi n  N* và n  1

Lời giải: 

- Với n = 1 ta có u₁ = 1³ + 3.1² + 5.1 = 9  3 => Mệnh đề đúng với n = 1

- Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k  1, k  N  => u_k = k³ + 3k² + 5k  3 

- Ta cần chứng minh: u_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)  3

=> u_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3(k + 1)² + 5k + 5 

= (k³ + 3k² + 5k) + 3(k + 1)² + 3k + 6 

 Vì k3 + 3k2 + 5k  3 ; 3(k + 1)²  3 ; 3k  3 và 6  3 => u_k+1  3

=> (1) luôn đúng với n = k +1 => Điều cần chứng minh. 

Ví dụ 2: Chứng minh u_n = n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n nguyên dương 

Lời giải: 

Thông qua những thông tin trong bài viết, hy vọng các em có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến phương pháp quy nạp toán học trong chương trình toán 11 để áp dụng giải các dạng bài chứng minh mệnh đề chính xác nhất. Để học thêm nhiều bài giảng bổ ích và thú vị khác về môn toán hay các môn học khác, các em hãy truy cập ngay trang web vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!  

>> Mời bạn tham khảo thêm: 

• Xác suất của biến cố
• Lý thuyết về dãy số