Hướng dẫn cách giải phương trình quy về bậc hai lớp 10 nâng cao

1. Lý thuyết chung về bất phương trình bậc 2

1.1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là $ax^2+bx+c<0$ (hoặc $ax^2+bx+c0$, $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c0$), trong đó a,b,c là những số thực cho trước, $a\neq 0$

Ví dụ về bất phương trình bậc 2: $x^2-2>0$, $2x^2+3x-5>0$,...
 

Giải bất phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c<0$ thực chất chính là quá trình tìm các khoảng thoả mãn $f(x)=ax^2+bx+c$ cùng dấu với a (a<0) hoặc trái dấu với a (a>0).

1.2. Tam thức bậc 2

Ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau: 

Cho $f(x)=ax^2+bx+c, =b^2-4ac$

• Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\in R$)

• Nếu $\Delta >0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ trường hợp x=-b/2a)

• Nếu $\Delta =0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$; trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$ trong đó $x_1, x_2$ (với $x_1<x_2$) là 2 nghiệm của hàm số f(x)

Bảng xét dấu của tam thức bậc 2:

Nhận xét:

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Các dạng bài tập bất phương trình quy về bậc hai lớp 10

2.1. Bất phương trình quy về bậc 2 dạng trị tuyệt đối

Để giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 dạng chứa giá trị tuyệt đối, phương pháp chung là ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối. Sau đây là một số cách điển hình để khử dấu giá trị tuyệt đối:

• Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.

• Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Cùng xét các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình quy về bậc 2 sau đây:

Hướng dẫn giải:

a) Với $x<1$, ta có VT$\geq 0$, VP<0 => bất phương trình nghiệm đúng với mọi x<1.

Với $x\geq 1$ ta có:

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\in (-\infty ;2] [2;+\infty )$

b) Với $x^2-3x+2<0$ => $1<x<2$. Ta có VT$\geq 0$, VP<0 suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Ta có: $x^2-3x+2$ => x\geq 2; $x\leq 1 $

Bất phương trình tương đương: $-x^2-3x+2<-x^2+3x+2<x^2-3x+2$

=> $2x^2-6x>0$ ⇔ $x>3, x<0$

Đối chiếu với điều kiện xác định, kết luận nghiệm của bất phương trình là x>3 và x<0.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $x^2-x+3x-2>0$

Hướng dẫn giải:

2.2. Bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 dạng căn thức

Khi giải bất phương trình dạng chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, ta thực hiện một số phép biến đổi tương đương để trở thành bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 thông thường. Trong quá trình biến đổi cần lưu ý:

• Nêu các điều kiện xác định của bất phương trình và nêu điều kiện của nghiệm (nếu có)

• Chỉ bình phương 2 vế của bất phương trình khi cả 2 về đều không âm.

Gộp các điều kiện đó với bất phương trình mới nhận được, ta có hệ bất phương trình tương đương với bất phương trình đề bài.

Ta cùng xét các ví dụ đơn giản sau đây để nắm được cách giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 dạng có ẩn trong dấu căn bậc hai:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10:

Hướng dẫn giải:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=[1;3] {-1}

Ví dụ 2: Chứng minh các bất phương trình sau là vô nghiệm:

Hướng dẫn giải:

3. Luyện tập bất phương trình quy về bậc hai lớp 10

Để thành thạo các dạng bài tập bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 trên, các em học sinh cùng VUIHOC luyện tập một số bài tập dang tự luận có giải chi tiết sau đây.

Bài 1: Giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 sau:

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Giải bất phương trình sau đây:

Hướng dẫn giải:

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

Bài 4: Giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 sau đây:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài 5: Giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 sau:

Hướng dẫn giải:

Xét dấu của biểu thức sau:

Trên đây là toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập luyện giải bất phương trình quy về bậc hai lớp 10 điển hình. Để học nhiều những kiến thức toán THPT, Toán lớp 10,... các em truy cập trang web giáo dục vuihoc.vn ngay hôm nay hoặc đăng ký khoá học tại đây nhé!