Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều Chi Tiết Và Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 13:51 08/10/2024 262,189 Tag Lớp 12

Thể tích khối chóp tứ giác đều là một trong những kiến thức rất quan trọng trong phần hình học lớp 12. Dạng toán này cũng thường xuất hiện khá nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy, để nắm rõ được toàn bộ công thức và cách giải các bài tập “khó nhằn”, các em có thể tham khảo bài viết sau đây của VUIHOC.

Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều Chi Tiết Và Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Khối chóp tứ giác đều là gì?

Là hình chóp có đáy là hình vuông, đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).

Hình chóp tứ giác đều - thể tích khối chóp tứ giác đều

2. Tính chất khối chóp tứ giác đều

- Cạnh bên bằng nhau

- Đáy là hình vuông

- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

- Các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau

- Các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

Ví dụ:

Với hình chóp tứ giác đều SABCD, ta có:

Tứ giác ABCD là hình vuông tâm O
SO $\perp$ (ABCD)
(ABCD)
SA=SB=SC=SD
(SA; (ABCD))=(SD;(ABCD))= (SB;(ABCD))=(SC;(ABCD))

Hình chóp tứ giác đều SABCD - thể tích khối chóp tứ giác đều

3. Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều

Công thức V = (1/3).S_đáy.h

Trong đó:

+ V: Thể tích hình chóp tứ giác đều.

+ h: Chiều cao hình chóp tứ giác đều.

+ S_đáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều.

4. Công thức tính diện tích khối chóp tứ giác đều

4.1. Tính diện tích xung quanh

Công thức: S_xq= 4.S

Trong đó:

+ S_xq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

+ S: Diện tích mặt bên của hình chóp tứ giác đều.

Diện tích xung quanh chóp tứ giác đều - công thức thể tích của khối chóp tứ giác đều

4.2. Tính diện tích toàn phần

Công thức: S_tp = S_xq + S_đáy

Trong đó:

+ S_tp: Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều.

+ S_xq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

+ S_đáy: Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều.

Trọn bộ bí kíp giải quyết mọi dạng bài tập hình học không gian

5. Một số bài tập tính thể tích khối chóp tứ giác đều (kèm lời giải chi tiết)

Câu 1: Cho S.ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB = a; SA = a. AB = a; SA = a.

Giải

Bài tập tính thể tích của khối chóp tứ giác đều

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Diện tích của đáy ABCD: SABCD = a²

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \frac{1}{3}a^{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3\sqrt{2}}}{6}$

Câu 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.?

Giải

Bài tập thể tích khối chóp tứ giác đều

Ta có: Diện tích đáy ABCD là a²

$SO^{2} = SB^{2} - OB^{2} = a^{2} - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Suy ra ta có: $SO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp cần tìm là:

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích khối chóp.

Giải

Bài tập thể tích khối chóp tứ giác đều

Thể tích khối chóp được tính theo công thức:

$V = \frac{1}{3}B.h$ với B = x²

Gọi điểm O là tâm của hình vuông và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng CD

Gọi chiều dài của đoạn SO là h

$\Rightarrow SI = \sqrt{SO^{2} + OI^{2}} = \sqrt{h^{2} + \frac{x^{2}}{4}}$

Có S_xq = 2SI.CD; S_xq = 2B

$2x\sqrt{h^{2} + \frac{x^{2}}{4}} = 2x^{2} \Rightarrow \sqrt{h^{2} + \frac{x^{2}}{4}} = x$

Từ đó suy ra:

$\Rightarrow h^{2} + \frac{x^{2}}{4} = x^{2} \Rightarrow \frac{3x^{2}}{4} = h^{2} \Rightarrow h = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Lúc đó ta có thể tích của hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}x^{2}.\frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{x^{3}\sqrt{3}}{6}$

Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bằng a và cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD $\Rightarrow SO \perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{SCO} = 60^{0} \Rightarrow tan60^{0} = \frac{SO}{OC} \Rightarrow SO = OC\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{2}}.\sqrt{3}$

$\Rightarrow V = \frac{1}{3}a\sqrt{\tfrac{3}{2}}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$

Câu 5: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp tứ giác đã cho.

Giải

Ta có $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow SO = \sqrt{SA^{2} - OA^{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{2}$

Vậy $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{\sqrt{14}}{2}.a^{3} = \frac{\sqrt{14}}{6}a^{3}$

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$ . Tính thể tích của hình chóp đó theo a.

Giải

Gọi h là chiều cao của hình chóp đã cho, ta có:

$h = \sqrt{3a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}$

$V = \frac{1}{3}S_{ABCD}.h = \frac{1}{3}a^{2}.\frac{a\sqrt{10}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{10}}{6}$

Câu 7: Chó hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a. Tính thể tích khối chóp đó.

Giải

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Ta có: $OD = \frac{a\sqrt{2}}{2}, SO = \sqrt{SD^{2} - OD^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Sau bài viết này, hy vọng các em sẽ nắm chắc được toàn bộ lý thuyết và bài tập áp dụng tính thể tích khối chóp tứ giác đều. Để có thêm nhiều kiến thức hay về công thức toán hình 12, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ và chuẩn bị tốt cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Xem thêm: