Giải thành thạo điều kiện hàm số mũ và logarit siêu nhanh

Trước khi đi vào nội dung về điều kiện của hàm số mũ và logarit, VUIHOC tổng kết cho các em về hàm số mũ và logarit ở bảng dưới đây:

Chi tiết hơn, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu full lý thuyết về hàm số mũ - hàm số logarit - điều kiện của hàm số mũ và logarit mà các thầy cô đã tổng hợp. Các em nhớ tải về để ôn tập nhé!

Tải xuống file lý thuyết hàm số - điều kiện của hàm số mũ và logarit

1. Tổng quan lý thuyết về hàm số mũ và logarit

1.1. Lý thuyết về hàm số mũ

1.2.1. Định nghĩa

Để tìm được điều kiện hàm số mũ, ta không được bỏ qua định nghĩa về hàm số mũ trước tiên. Theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x2-x-6}$, $y=10^x$,...

1.2.2. Đạo hàm

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

1.2.3. Khảo sát hàm số mũ và đồ thị

Đồ thị:

Đồ thị:

Chú ý: Các em lưu ý đồ thị của một số hàm số mũ đặc biệt sẽ có dạng như sau:

1.2. Lý thuyết về hàm số logarit

1.2.1. Định nghĩa

Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số trong đó có chứa biểu thức dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

1.2.2. Đạo hàm

Cho hàm số . Khi đó đạo hàm của hàm số trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số . Đạo hàm là:

Ta có 3 công thức cơ bản về đạo hàm hàm số logarit cần ghi nhớ. Các em nhớ chép lại để học thuộc nhé!

1.2.3. Khảo sát hàm số logarit và đồ thị

Xét hàm số logarit $y=$log_ax$, ta có:

* Tập xác định $D=(0;+\infty )$, $y=log_ax$ nhận mọi giá trị trong $\mathbb{R}$

* Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>0$, $a\neq 1$.

* Đồ thị qua điểm $(1 ; 0)$, nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Đồ thị:

Đồ thị hàm logarit $y=log_ax$ được biểu diễn như sau:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và nằm phía bên phải trục tung.

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$, $(0<a\neq 1)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).

2. Điều kiện hàm số mũ và logarit

2.1. Các bước tìm điều kiện hàm số mũ và ví dụ minh hoạ

Tổng quan lại bằng công thức, ta có định nghĩa về điều kiện hàm số mũ như sau: Hiểu đơn giản, điều kiện của hàm số mũ là giá trị làm cho hàm số mũ có nghĩa. 

Với hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\neq 1)$ thì không có điều kiện. Nghĩa là tập xác định của nó là $\mathbb{R}$.

Vì vậy khi chúng ta gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số $y=a^{u(x)}(a>0,a\neq 1)$ thì ta chỉ viết điều kiện để cho $u(x)$ xác định.

Các bước tìm điều kiện hàm số mũ:

Xét hàm số mũ

Bước 1: Chỉ ra điều kiện hàm mũ trên là không có điều kiện

Bước 2: Viết điều kiện để u(x) xác định

Chúng ta cùng đi vào xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về các bước tìm điều kiện của hàm số mũ:

2.2. Các bước tìm điều kiện hàm số logarit và ví dụ minh hoạ

Trước hết, ta cùng tổng quan lại lý thuyết về điều kiện của hàm số mũ và logarit. Xét hàm số $y=log_ax$, ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:

• $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp hàm số $y=log_a[U(x)]$ điều kiện $U(x)>0$. Nếu a chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[U(x)]^n$ điều kiện $U(x)>0$ nếu n lẻ; $U(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn. 

Như vậy,điều kiện hàm số logarit dạng công thức sẽ là:

=> Điều kiện xác định là $u(x)>0$ và $u(x)$ xác định.

Để tìm nhanh điều kiện hàm logarit, các em cần thực hiện theo các bước như sau:

Xét hàm số logarit $y=log_au(x)(a>0, a\neq 1)$

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của $u(x)$

Bước 2: Tìm x sao cho $u(x)>0$

Để hiểu hơn về cách tìm điều kiện hàm logarit, ta cùng xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số $log_2(x-2)$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của hàm số

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo hơn trong việc giải điều kiện của hàm số mũ và logarit, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu bài tập điều kiện của hàm số mũ và logarit siêu hay và sát các đề thi, giúp các em dễ dàng hơn trong việc ôn luyện. Nhớ tải về ngay nhé!

Tải xuống trọn bộ bài tập điều kiện hàm số mũ và logarit có giải chi tiết
 

Vậy là các em đã cùng VUIHOC ôn tập và thực hành mọi lý thuyết và bài tập về điều kiện hàm số mũ và logarit. Chúc các em học tốt!