img
Thông báo
Sắp bắt đầu năm học mới, lớp hiện tại của bạn đang là lớp {{gradeId}}, bạn có muốn thay đổi lớp không?
img

Tổng Hợp Các Dạng Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Tác giả Cô Hiền Trần 10:30 06/12/2023 30,880 Tag Lớp 11

Trong chương trình toán THPT, các em sẽ được làm quen với dạng bài về phương trình lượng giác thường gặp. Bài viết dưới đây Vuihoc.vn sẽ tổng hợp đầy đủ về phương trình lượng giác thường gặp cùng ví dụ minh họa giúp các em hiểu bài nhanh hơn.

Tổng Hợp Các Dạng Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Mục lục bài viết
{{ section?.element?.title }}
{{ item?.title }}
Mục lục bài viết x
{{section?.element?.title}}
{{item?.title}}

1. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác sinx và cosx

Phương trình bậc nhất với một số hàm số lượng giác có dạng phương trình như sau: 

at+b=0

Trong đó:  

+ a,b: hằng số (a≠0)

+ t: một trong các hàm số lượng giác

Phương trình lượng giác dạng: 

asinx+bcosx=c

Trong đó: có a,b,c cùng thuộc R, $a^{2}+b^{2}\neq 0$ là phương trình bậc nhất với sin⁡x và cos⁡x.

Ta xét:

+ Nếu $a^{2}+b^{2}< c^{2}$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $a^{2}+b^{2}\geqslant c^{2}$, để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp các bước sau.

Với phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác sinx và cosx, ta xét phương trình asinx+bcosx=c

Lúc này:

+ Ta chia 2 vế của phương trình cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

+ Gọi $\alpha$ là góc lượng giác được tạo ra bởi chiều dương của trục hoành với vectơ $\vec{OM}=(a,b)$, phương trình trở thành:

$sin(x+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (1)

Điều kiện phương trình có nghiệm:

$\left | \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\leqslant 1 \Rightarrow \left | c \right |\leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Rightarrow c^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}$

Suy ra được điều kiện để phương trình asinx +bcosx = c có nghiệm

Công thức đặc biệt:

• sin⁡x+cos⁡x=0

 ⇔x= –π4+kπ (k∈Z).

• sin⁡x–cos⁡x=0

 ⇔x=π4+kπ

Ví dụ: Hãy giải phương trình sau: (1+$\sqrt{3}$)sinx + (1-$\sqrt{3}$)cosx=2

Giải: 

Giải phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

2. Phương trình bậc hai một số hàm lượng giác 

Dạng 1: $asin^{2}x+bsinx+c$ (a≠0;a,b,c∈R)

Phương pháp giải: 

Đặt:

  • t=sin⁡x, với điều kiện |t|≤1, sau đó đưa phương trình $asin^{2}x+bsinx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
  • Giải phương trình tìm ra t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 2: $acos^{2}x+bcosx+c$, (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Đặt t=cos⁡x, điều kiện |t|≤1

  • Đưa phương trình $acos^{2}x+bcosx+c$ về phương trình bậc hai theo t.
  • Giải phương trình ra tìm t, chú ý kết hợp điều kiện của t rồi tìm x.

Dạng 3: $atan^{2}x+btanx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện cos⁡x≠0

 ⇔x≠π2+kπ (k∈Z).

  • Đặt t=tan⁡x (t∈R), đưa phương trình $atan^{2}x+btanx+c$ về phương trình bậc hai theo t. Chú ý rằng khi tìm được nghiệm x cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Dạng 4: $acot^{2}x+bcotx+c$ (a≠0; a,b,c∈R).

Phương pháp giải: Điều kiện sin⁡x≠0 ⇔x≠kπ (k∈Z).

  • Đặt t=cot⁡x (t∈R), ta đưa phương trình $acot^{2}x+bcotx+c$ về phương trình bậc hai theo ẩn t

  • Giải ra t rồi tìm x, chú ý khi tìm được nghiệm cần thử lại vào điều kiện xem có thoả mãn hay không.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2cos^{2}x-3cosx+1$

Giải:

Giải phương trình lượng giác thường gặp

Đăng ký ngay khóa học DUO 11 để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán ngay từ bây giờ

 

 

3. Phương trình lượng giác thuần bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin⁡x và cos⁡x là phương trình có dạng: $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$, trong đó có: a,b,c,d cùng thuộc R.

Phương pháp giải:

Ta chia từng vế của phương trình cho một trong ba $sin^{2}x$, $cos^{2}x$ hoặc sin⁡x.cos⁡x. Ví dụ nếu ta chia cho $cos^{2}x$ ta làm theo các bước sau:

  • Cho: cos⁡x=0 ⇔x=2 + kπ (k∈Z) xem nó có phải là nghiệm của phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ không?

  • Với cos⁡x≠0, chia cả hai vế cho $cos^{2}x$, lúc này phương trình $asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$ trở thành: $atan^{2}x+btanx+c=d(1+tan2x)$

 ⇔ $(a-d)tan^{2}x+btanx+c-d=0$.

Ta xét thấy, phương trình có dạng bậc hai theo tan.

Ví dụ: Hãy giải phương trình $2\sqrt{3}cos^{2}x+6sinxcosx=3+\sqrt{3}$

Một số phương trình lượng giác thường gặp

4. Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Phương trình đối xứng với sin⁡x và cos⁡x là phương trình dạng a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0, với a,b,c thuộc R.

Phương pháp giải:

Do: $(sinx+cosx)^{2}$

= 1+2sin⁡x.cos⁡x nên ta đặt:

t=sin⁡x+cos⁡x= $\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4}) = 2cosz(\frac{\pi }{4}-x)$

Điều kiện |t|≤2.

Nên sin⁡x.cos⁡x = $\frac{t^{2}-1}{2}$ và phương trình a(sin⁡x+cos⁡x)+bsin⁡xcos⁡x+c=0 được viết lại là $bt^{2}+2at-(b+2c)=0$

Ví dụ: Giải pt sin⁡x+cos⁡x–2sin⁡x.cos⁡x+1=0

Giải:

Giải phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

 

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi Toán THPT sớm đạt 9+

 

5. Phương trình lượng giác dạng thuận nghịch

Ta có dạng phương trình thuận nghịch là:

$A(f^{2}(x)+\frac{k^{2}}{f^{2}(x)})+B(f(x)+\frac{k}{f(x)})+C=0$ (1)

Hoặc $A(a^{2}tan^{2}x+b^{2}cot^{2}x)+B(atanx+bcotx)+C=0$ (2)

Giải: 

  • Đối với (1): Đặt t=f(x) + $\frac{k}{f(x)}$

  • Đối với (2): Đặt t=a tanx + b cotx

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{3}{cos^{2}x}+3cot^{2}x+4(tanx+cotx)-1=0$

Giải: 

Bài tập giải phương trình lượng giác thường gặp

6. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=d$

Trong đó: x là một ẩn số

                a,b,c,d là hệ số  

Giải:

  • Trường hợp 1: a=d

Lúc này phương trình có dạng:

$asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=a$

$\Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}=asin^{2}x+acos^{2}x$

$\Leftrightarrow bsinx.cosx+(c-a)cos^{2}x=0$

$\Leftrightarrow cosx\left [ bsinx+(c-a)cosx \right ]=0$

$\Leftrightarrow cosx=0$ hoặc $[ bsinx+(c-a)cosx \right ]=0$

Trường hợp 2: $a\neq d$

$\Leftrightarrow asin^{2}x+bsinx.cosx+ccos^{2}x=dsin^{2}x+dcos^{2}x$

$\Leftrightarrow (a-d)sin^{2}x+bsinxcosx+(c-d)cos^{2}x=0$

Có thể thấy cosx=0 không phải là nghiệm phương trình, ta chia cả 2 vế cho cos^{2}x ta được:

$(a-d)tan^{2}x+btanx+c-d=0$

Ví dụ: Giải phương trình: $6sin^{2}x+14sinxcosx-4(1+cos2x)=6$

Giải:

PT $\Leftrightarrow 3(1-cos2x)+7 sin2x-4(1+cos2x)=6$
$\Leftrightarrow 7sin2x-7cos2x=7$
$\Leftrightarrow sin2x-cos2x=1$
$\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

Tham khảo ngay một số dạng bài tập về lượng giác được các thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích  

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô  

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Bài viết trên đã tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng toán về phương trình lượng giác thường gặp. Hy vọng rằng các em sẽ tiếp thu bài học dễ dàng hơn và giải bài tập thật thành thạo. Truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn để để ôn tập nhiều hơn về các dạng bài tập khác thuộc chương trình Toán 11! Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

>> Bài viết tham khảo thêm: 

Banner after post bài viết tag lớp 11
| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}
Hotline: 0987810990