Hằng đẳng thức đáng nhớ|Toán 8 Chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 10:18 19/04/2024 832 Tag Lớp 8

Hằng đẳng thức đáng nhớ là phần kiến thức quan trọng mà các em phải nắm bắt được để áp dụng trong các dạng bài tập trong chương trình toán 8 và các cấp sau này. Hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức cơ bản, là nền tảng quan trọng trong quá trình học toán ở bậc THCS.

Hằng đẳng thức đáng nhớ|Toán 8 Chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình toán 8

1.1 Bình phương của một tổng, một hiệu

- Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A - B)² = A² - 2AB + B²

Ví dụ: ( x + 2)² = x² + 2.x.2 + 2² = x² + 4x + 4

1.2 Hiệu của hai bình phương

- Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A² - B² = (A + B)(A - B)

Ví dụ: x² - 4 = (x + 2)(x - 2)

1.3 Lập phương của một tổng, một hiệu

- Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

Ví dụ: (x - 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² - (2y)³

= x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

1.4 Tổng và hiệu của hai lập phương

- Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)

A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

Ví dụ: x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 4)

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

2. Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ

2.1 Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ sách cánh diều

Bài 1 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều

a) 4x² + 28x + 49 = (2x)² + 2 . 2x . 7 + 7² = (2x + 7)²;

b) 4a² + 20ab + 25b² = (2a)² + 2 . 2a . 5b + (5b)² = (2a + 5b)²;

c) 16y² – 8y + 1 = (4y)² – 2 . 4y . 1 + 1² = (4y – 1)²;

d) 9x² – 6xy + y² = (3x)² – 2 . 3x . y + y² = (3x – y)².

Bài 2 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều

a) a³ +12a² + 48a + 64 = a³ + 3 . a² . 4 + 3 . a . 4² + 4³ = (a + 4)³;

b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

= (3x)³ + 3 . (3x)² . 2y + 3 . 3x . (2y)² + (2y)³

= (3x + 2y)³;

c) x³ – 9x² + 27x – 27 = x³ – 3 . x² . 3 + 3 . x . 3² – 3³ = (x – 3)³;

d) 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³ = (2a)³ – 3 . (2a)²b + 3 . 2ab² – b³ = (2a – b)³.

Bài 3 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều

a) 25x² – 16 = (5x)² – 4² = (5x + 4)(5x – 4);

b) 16a² – 9b² = (4a)² – (3b)² = (4a + 3b)(4a – 3b);

c) 8x³ + 1 = (2x)³ + 1 = (2x + 1)[(2x)² – 2x . 1 + 1²] = (2x + 1)(4x² – 2x + 1);

d) 125x³ + 27y³ = (5x)³ + (3y)³ = (5x + 3y)[(5x)² – 5x . 3y + (3y)²]

= (5x + 3y)(25x² – 15xy + 9y²);

e) 8x³ – 125 = (2x)³ – 5³ = (2x – 5)[(2x)² + 2x . 5 + 5²]

= (2x – 5)(4x² + 10x + 25);

g) 27x³ – y³ = (3x)³ – y³ = (3x – y)[(3x)² + 3x.y + y²].

Bài 4 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều

a) Ta có A = x² + 6x + 10 = x² + 6x + 9 + 1 = (x + 3)² + 1.

Thay x = −103 vào biểu thức A, ta được:

A = (−103 + 3)² + 1 = (−100)² + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.

Vậy A = 10 001 tại x = −103.

b) Ta có B = x³ + 6x² + 12x + 12 = x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² + 2³ + 4

= (x + 2)³ + 4.

Thay x = 8 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 + 2)³ + 4 = 10³ + 4 = 1004.

Vậy B = 1004 tại x = 8.

Bài 5 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều

a) Ta có C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

= [(3x – 1) – (3x + 1)]²= (3x – 1 – 3x – 1)²

= (– 1 – 1)²= (–2)²= 4.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²] – 12(x² + 1)

= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)² + x² – 2² + (x – 2)²] – 12x² – 12

= 4(x² + 4x + 4 + x² – 4 +x²– 4x + 4) – 12x² – 12

= 4(3x² + 4) – 12x² – 12

= 12x² + 16 – 12x² – 12 = 4.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

= (x³ + 3³) – (x³ – 2³) = x³ + 27 – x³+ 8 = 35.

Vậy biểu thức E không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

= [(2x)³ – 1³]– 8(x³ + 2³) = (8x³ – 1) – 8(x³ + 8)

= 8x³ – 1–8x³ – 64 = – 65.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Bài 6 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều

Ta có (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 024

= (0,76 + 0,24)³ – 3 . 0,76 . 024 . (0,76 + 024) + 3 . 0,76 . 024

= 1³ – 3 . 0,76 . 024 . 1 + 3 . 0,76 . 024

= 1 – 3 . 0,76 . 024 + 3 . 0,76 . 024 = 1.

Vậy (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 024 = 1.

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

2.2 Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ sách chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) (3x + 4)²

= (3x)² + 2.3x.4 + 4²

= 9x² + 24x + 16.

b) (5x – y)²

= (5x)² – 2.5x.y + y²

= 25x² – 10xy + y².

c. $\large \left ( xy-\frac{1}{2}y \right )^{2}=(xy)^{2}-2xy.\frac{1}{2}y+\left ( \frac{1}{2} \right )y^{2}$

$\large =x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}$

Bài 2 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) x² + 2x + 1 = x² + 2.x.1 + 1² = (x + 1)².

b) 9 – 24x + 16x² = 3² – 2.3.4x + (4x)² = (3 – 4x)²

c. $\large 4x^{2}+\frac{1}{4}+2x=4x^{2}+2x+\frac{1}{4}$

$\large =(2x)^{2}+2.2x.\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\left ( 2x+\frac{1}{2} \right )^{2}$

Bài 3 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) (3x – 5)(3x + 5) = (3x)² – 5² = 9x² – 25.

b) (x – 2y)(x + 2y) = x² – (2y)² = x² – 4y².

c. $\large \left ( -x-\frac{1}{2}y \right )\left ( -x+\frac{1}{2}y \right )=(-x)^{2}-\left ( \frac{1}{2}y \right )^{2}=x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$

Bài 4 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) Biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 là:

(2x + 3)² = (2x)² + 2.2x.3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

b) Biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x − 2 là:

(3x – 2)³ = (3x)³ – 3.(3x)².2 + 3.3x.2² – 2³

= 27x³ – 54x² + 36x – 8.

Bài 5 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) 38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 40² – 2² = 1 600 – 4 = 1 596.

b) 102² = (100 + 2)² = 100² + 2.100.2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.

c) 198² = (200 – 2)² = 200² – 2.200.2 + 2² = 40 000 – 800 + 4 = 39 204.

d) 75² – 25² = (75 + 25).(75 – 25) = 100 . 50 = 5 000.

Bài 6 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) (2x – 3)³ = (2x)³ – 3.(2x)².3 + 3.2x.3² – 3³ = 8x³ – 36x² + 54x – 8.

b) (a + 3b)³ = a³ + 3.a².3b + 3.a.(3b)² + (3b)³ = a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.

c) (xy –1)³ = (xy)³ – 3.(xy)².1 + 3.xy.1² – 1³ = x³y³ – 3x²y² + 3xy – 1.

Bài 7 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) (a – 5)(a² + 5a + 25) = (a – 5)(a² + a.5 + 5²) = a³ – 5³ = a³ – 125.

b) (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²) = (x + 2y).[x² – x.2y + (2y)²] = x³ + (2y)³ = x³ + 8y³.

Bài 8 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) = (a² – 1)(a² + 1) = (a²)² – 1² = a⁴ – 1.

b) (xy + 1)² – (xy – 1)² = [(xy + 1) + (xy – 1)].[(xy + 1) – (xy – 1)]

= [xy + 1 + xy – 1].[xy + 1 – xy + 1] = 2xy.2 = 4xy.

Bài 9 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

a) Ta có: (x − y)² = x² – 2xy + y² = x² + 2xy + y² – 4xy = (x + y)² – 4xy

Thay x + y = 12 và xy = 35 vào biểu thức trên ta có:

(x − y)² = 12² – 4.35 = 144 – 140 = 4.

b) Ta có: (x + y)² = x² + 2xy + y² = x² – 2xy + y² + 4xy = (x – y)² + 4xy

Thay x – y = 8 và xy = 20 vào biểu thức trên ta có:

(x + y)² = 8² + 4.20 = 64 + 80 = 144.

c) Ta có: x³ + y³ = (x + y).(x² – xy + y²) = (x + y).(x² + 2xy + y² – 3xy)

= (x + y).[(x + y)² – 3xy]

Thay x + y = 5 và xy = 6 vào biểu thức trên ta có:

x³ + y³ = 5.(5² – 3.6) = 5.(25 – 18) = 5.7 = 35.

d) Ta có: x³ – y³ = (x – y).(x² + xy + y²) = (x – y).(x² – 2xy + y² + 3xy)

= (x – y).[(x – y)² + 3xy]

Thay x – y = 3 và xy = 40 vào biểu thức trên ta có:

x³ – y³ = 3.(3² – 3.40) = 3.(9 – 120) = 5.(–111) = –555.

Bài 10 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng tạo

Hình hộp chữ nhật có nhiều dài, rộng, cao đều bằng 5 có thể tích là:

5³ = 125 (cm³).

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).5 = (5 + a)².5 = (5² + 2.5.a + a²).5 = (25 + 10a + a²).5

= 25.5 + 10a.5 + a².5 = 125 + 50a + 5a² (cm³).

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

125 + 50a + 5a² – 125 = 5a² + 50a (cm³).

Vậy nếu chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm thì thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm 5a² + 50a (cm³).

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)³ = 5³ + 3.5².a + 3.5.a² + a³ = 125 + 75a + 15a² + a³ (cm³).

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

125 + 75a + 15a² + a³ – 125 = a³ + 15a² + 75a (cm³).

Vậy nếu chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm thì thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm a³ + 15a² + 75a (cm³).

2.3 Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ sách kết nối tri thức

Bài 2.1 trang 33 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) Đẳng thức x + 2 = 3x + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 2, vế phải bằng 1, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau;

b) Đẳng thức 2x(x + 1) = 2x² + 2x là hằng đẳng thức;

c) Đẳng thức (a + b)a = a² + ba là hằng đẳng thức;

d) Đẳng thức a – 2 = 2a + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 2 thì kết quả ở vế trái bằng 0, vế phải bằng 5, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau.

Bài 2.2 trang 33 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a. 9y²

b. x²

c. 16y² / x

d. 4x² / 3y

Bài 2.3 trang 33 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) 54 . 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 60² – 6²

= 3 600 – 36 = 3564;

b) 203² = (200 + 3)² = 200² + 2 . 200 . 3 + 3²

= 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209.

Bài 2.4 trang 33 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) x² + 4x + 4 = x² + 2 . x . 2 + 2² = (x + 2)²;

b) 16a² – 16ab + 4b² = (4a)² – 2 . 4a . 2b + (2b)² = (4a – 2b)².

Bài 2.5 trang 33 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) (x – 3y)² – (x + 3y)² = [(x – 3y) + (x + 3y)] [(x – 3y) – (x + 3y)]

= (x – 3y + x + 3y)(x – 3y – x – 3y) = 2x . (–6y) = –12xy;

b) (3x + 4y)² + (4x – 3y)²

= (3x)² + 2 . 3x . 4y + (4y)² + (4x)² – 2 . 4x . 3y + (3y)²

= (3x)² + (4y)² + (4x)² + (3y)² = 9x² + 16y² + 16x² + 9y²

= 25x² + 25y².

Bài 2.6 trang 33 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

Ta có (n + 2)² – n² = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)

Vì n là số tự nhiên nên n + 1 cũng là số tự nhiên

Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.

Vậy với mọi số tự nhiên n, ta có (n + 2)² – n² chia hết cho 4.

Ta có (n + 2)2 – n2 = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)

Vì n là số tự nhiên nên n + 1 cũng là số tự nhiên

Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.

Vậy với mọi số tự nhiên n, ta có (n + 2)2 – n2 chia hết cho 4.

Bài 2.7 trang 36 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a. $\large (x^{2}+2y)^{3}=(x^{2})^{3}+3.(x^{2})^{2}.2y + 3x^{2}.(2y)^{2}+(2y)^{3}$

= x⁶ + 3.x⁴.2y + 3.x².4y² + 8y³

= x⁶ + 6x⁴y + 12x²y² + 8y³.

b. $\large \left ( \frac{1}{2}x-1 \right )^{3}=\left ( \frac{1}{2}x \right )^{3}-3.\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2}.1+3\frac{1}{2}x.1^{2}-1^{3}$

$\large =\frac{1}{8}x^{3}-3\frac{1}{4}x^{2}+3.\frac{1}{2}x-1$

$\large =\frac{1}{8}x^{3}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x-1$

Bài 2.8 trang 36 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) 27 + 54x + 36x² + 8x³

= 3³ + 3 . 3² . 2x + 3 . 3 . (2x)² + (2x)³

= (3 + 2x)³;

b) 64x³ – 144x²y + 108xy² – 27y³

= (4x)³ – 3 . (4x)². 3y + 3 . 4x . (3y)² – (3y)³

= (4x – 3y)³.

Bài 2.9 trang 36 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) Ta có: x³ + 9x² + 27x + 27

= x³ + 3 . x² . 3 + 3 . x . 3² + 3³ = (x + 3)³.

Thay x = 7 vào biểu thức (x + 3)³, ta được:

(7 + 3)³ = 10³ = 1 000.

b) Ta có 27 – 54x + 36x² – 8x³

= 3³ – 3 . 3² . 2x + 3 . 3 . (2x)² – (2x)³

= (3 – 2x)³.

Thay x = 6,5 vào biểu thức (3 – 2x)³, ta được:

(3 – 2 . 6,5)³ = (3 – 13)³ = (–10)³ = –1 000.

Bài 2.10 trang 36 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) (x – 2y)³ + (x + 2y)³

= x³ – 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)²– (2y)³ + x³ + 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)²+ (2y)³

= x³ – 6x²y + 12xy²– 8y³ + x³ + 6x²y + 12xy²+ 8y³

= (x³ + x³) + (6x²y – 6x²y) + (12xy²+ 12xy²) + (8y³– 8y³)

= 2x³ + 24xy².

b) (3x + 2y)³ + (3x – 2y)³

= (3x)³ + 3 . (3x)² . 2y + 3 . 3x . (2y)² + (2y)³ + (3x)³ – 3 . (3x)² . 2y + 3 . 3x . (2y)² – (2y)³

= (3x)³ + 3 . 3x . (2y)² + (3x)³ + 3 . 3x . (2y)²

= 27x³ + 36xy² + 27x³ + 36xy²

= 54x³ + 72xy².

Bài 2.11 trang 36 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

Ta có

• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³;

• – (b – a)³= – (b³ – 3b²a + 3ba² – a³)

= – b³ + 3b²a – 3ba² + a³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Vậy (a – b)³ = – (b – a)³.

Bài 2.12 trang 39 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) (x + 4)(x² – 4x + 16) = (x + 4)(x² – x . 4 + 4²) = x³ + 4³ = x³ + 64;

b) (4x² + 2xy + y²)(2x – y) = (2x – y)[(2x)² + 2xy + y²]

= (2x)³ – y³ = 8x³ – y³.

Bài 2.13 trang 39 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a. 8x

b. 3x / 9x²

Bài 2.14 trang 39 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) 27x³ + y³ = (3x)³ + y³ = (3x + y)[(3x)² – 3x . y + y²]

= (3x + y)(9x² – 3xy + y²).

b) x³ – 8y³ = x³ – (2y)³

= (x – 2y)[x² + x . 2y + (2y)²]

= (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²).

Bài 2.15 trang 39 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

(x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) + (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

= x³ – (2y)³ + x³ + (2y)³ = (x³ + x³) + [(2y)³ – (2y)³]

= x³ + x³ = 2x³.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ cùng hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Để tìm hiểu thêm các bài học trong chương trình toán 8, các em hãy theo dõi những bài viết mới của VUIHOC hàng ngày nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: