Lý thuyết đa giác đều toán 9 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 17:16 12/08/2024 1,768 Tag Lớp 9

Bài học lý thuyết đa giác đều toán 9 chương trình mới giúp các em nhận biết đa giác đều, nhận biết phép quay và mô tả được phép quay giữ nguyên hình đa giác đều.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Đa giác đều là gì?

- Đa giác được gọi là đa giác lồi nếu nó luôn nằm về một phía bất kì đường thẳng nào đi qua một cạnh của đa giác đó. Khi nói đến đa giác không chú thích gì thêm thì ta hiểu nó là đa giác lồi.

- Đa giác đều là đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

+ Đa giác đều có số cạnh bằng n được gọi là n - giác đều

+ Với n lần lượt bằng 3, 4, 5, 6, 8... ta có tam giác đều, tứ giác đều (hình vuông), ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều...

+ Với mỗi đa giác, chứng minh được có duy nhất 1 điểm I cách đều tất cả các đỉnh của đa giác. Điểm I gọi là tâm của đa giác đó.

2. Phép quay

- Phép quay thuận chiều $\large \alpha ^{o}$ (0^o < $\large \alpha ^{o}$ < 360^o), tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M khác điểm O thành điểm M' thuộc đường tròn (O;OM) sao cho khi tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM' thì điểm M tạo nên cung MM' có số đo $\large \alpha ^{o}$ . Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều $\large \alpha ^{o}$ tâm O. Phép quay 0^o hay 360^o giữ nguyên mọi điểm.

- Chú ý:

+ Ta coi mỗi phép quay tâm O biến O thành chính nó.

+ Nếu một phép quay biến các điểm M trên hình H thành các điểm M' thì các điểm M' tạo thành hình H'. Khi đó ta nói phép quay biến hình H thành H'. Nếu hình H' trùng với hình H thì ta nói phép quay biến hình H thành chính nó.

3. Bài tập đa giác đều toán 9 chương trình mới

3.1 Bài tập đa giác đều toán 9 kết nối tri thức

Bài 9.24 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Hình b là hình vuông, hình d là hình lục giác đều vì hai hình đều có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Bài 9.25 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Phép quay thuận chiều 60° tâm O biến điểm M thành điểm N tức là điểm N thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận kim đồng hồ đến tia ON và điểm M tạo nên cung MN có số đo là 60°.

Bài 9.26 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2 cm nên ta có OA = OB = OC = 2 cm.

Vì ABC là tam giác đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trọng tâm của tam giác.

Gọi H là giao điểm của AO và BC. Khi đó AH vừa là đường trung trực, vừa đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác.

$\large \rightarrow AO=\frac{2}{3}AH\rightarrow AH=\frac{2}{3}AO=\frac{3}{2}.2=3cm$

Vì $\large \Delta$ ABC đều nên $\large \widehat{ABC}=60^{o}$

Xét $\large \Delta$ ABH vuông tại H, ta có:

$\large BH=\frac{AH}{\tan \widehat{ABH}}=\frac{3}{\tan60^{o}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(cm)$

Vì AH là đường trung tuyến của $\large \Delta$ ABC nên H là trung điểm của BC, do đó BC = 2BH = $\large 2\sqrt{3}$ (cm)

Vậy các cạnh của tam giác ABC có độ dài bằng $\large 2\sqrt{3}$ cm.

Bài 9.27 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MA = MB = 1/2AB; NB = NC = 1/2BC; PC = PD = 1/2CD; QD = QA = 1/2DA.

Do đó AM = MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = 1/2AB. (1)

Xét $\large \Delta$ ABD có AB = AD nên $\large \Delta$ ABD cân tại A, lại có $\large \widehat{A}=60^{o}$ nên $\large \Delta$ ABD là tam giác đều. Do đó AB = BD (2) và $\large \widehat{ABD}=\widehat{ADB}=60^{o}$

Lại có M, Q là lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD và MQ = 1/2BD. (3)

Chứng minh tương tự, ta cũng có NP = 1/2BD. (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => MB = BN = NP = PD = DQ = QM.

Vì MQ // BD nên $\large \widehat{AMQ}=\widehat{ABD}=60^{o}$ (so le trong).

Mà $\large \widehat{AMQ}+\widehat{BMQ}=180^{o}$ (hai góc kề bù)

$\large \rightarrow\widehat{BMQ}=180^{o}-\widehat{AMQ}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

Tương tự, ta có $\large \widehat{BNP}=\widehat{NPD}=\widehat{DQM}=120^{o}$

Tam giác BCD có BC = CD và $\large \widehat{C}=\widehat{A}=60^{o}$ (tính chất hình thoi) nên $\large \Delta$ BCD là tam giác đều. Do đó $\large \widehat{CBD}=\widehat{CDB}=60^{o}$

Ta có $\large \widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=60^{o}+60^{o}=120^{o}$ ;

$\large \widehat{ADC}=\widehat{ADB}+\widehat{CDB}=60^{o}+60^{o}=120^{o}$

Khi đó, $\large \widehat{MBN}=\widehat{BNP}=\widehat{NPD}=\widehat{PDQ}=\widehat{DQM}=120^{o}$ .

Như vậy MBNPDQ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Vậy MBNPDQ là lục giác đều.

Bài 9.28 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì $\large \Delta$ ABC là tam giác đều nên $\large \widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^{o}$ .

Xét đường tròn (O) có $\large \widehat{ACB};\widehat{AOB}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB nên $\large \widehat{ACB}=\frac{1}{2}AOB\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{ACB}=2.60^{o}=120^{o}$

Vì phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành các điểm D nên điểm D nằm trên đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OD thì điểm A tạo nên cung AD có số đo 60°.

Khi đó ta có OA = OD và $\large \widehat{AOD}=60^{o}$ nên $\large \Delta$ OAD là tam giác đều.

=> AD = OA = OD và $\large \widehat{AOD}=60^{o}$ (1)

Mặt khác, $\large \widehat{AOB}=\widehat{AOD}+\widehat{BOD}$ (hai góc kề nhau)

Nên $\large \widehat{BOD}=\widehat{AOB}-\widehat{AOD}=120^{o}-60^{o}=60^{o}$

Xét $\large \Delta$ BOD có OB = OD (cùng bằng OA) và $\large \widehat{BOD}=60^{o}$ nên $\large \Delta$ BOD là tam giác đều.

Do đó BD = OB = OD và $\large \widehat{ODB}=60^{o}(2)$

Từ (1) và (2) ta có AD = DB và $\large \widehat{ADB}=\widehat{ODA}+\widehat{ODB}=60^{o}+60^{o}=120^{o}$

Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

AD = DB = BE = EC = CF = FA và $\large \widehat{ADB}=\widehat{DBE}=\widehat{BEC}=\widehat{ECF}=\widehat{CFA}=\widehat{FAD}=120^{o}$

Vậy ADBECF có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng 120° nên là một lục giác đều.

Bài 9.29 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Giả sử ABCDE là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).

Vì ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE.

Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Xét $\large \Delta$ OAB và $\large \Delta$ OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó $\large \Delta$ OAB = ∆OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có

$\large \Delta$ OAB = $\large \Delta$ OBC = $\large \Delta$ COD = $\large \Delta$ DOE = $\large \Delta$ EOA.

$\large \Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOA}$

Mà $\large \Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOA}=360^{o}$

$\large \Rightarrow 5\widehat{AOB}=360^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOA}=\frac{360^{o}}{5}=72^{o}$

Khi đó phép quay ngược chiều 72° tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo 72°.

Vậy mỗi phép quay ngược chiều 72° tâm O ở mỗi đỉnh A, B, C, D, E sẽ giữ nguyên ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.

Bài 9.30 trang 89 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Giả sử 8 cabin tạo thành một bát giác đều ABCDEGHK nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).

Vì bát giác ABCDEGHK nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE = OG = OH = OK.

Vì ABCDEGHK là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EG = GH = HK = KA.

Xét $\large \Delta$ OAB và $\large \Delta$ OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó $\large \Delta$ OAB = $\large \Delta$ OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có:

$\large \Delta$ OAB = $\large \Delta$ OBC = $\large \Delta$ COD = $\large \Delta$ DOE = $\large \Delta$ EOG = $\large \Delta$ GOH = $\large \Delta$ HOK = $\large \Delta$ KOA.

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOG}=\widehat{GOH}=\widehat{KOH}=\widehat{KOA}$

Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOG}+\widehat{GOH}+\widehat{KOH}+\widehat{KOA}=360^{o}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOG}=\widehat{GOH}=\widehat{KOH}=\widehat{KOA}$ $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOG}+\widehat{GOH}+\widehat{KOH}+\widehat{KOA}=\frac{360^{o}}{8}=45^{o}$
Khi đó $\widehat{AOG}=\widehat{AOK}+\widehat{KOH}+\widehat{HOG}=45^{o}+45^{o}+45^{o}=135^{o}$

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

3.2 Bài tập đa giác đều toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 79 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

• Hình 11a) là tam giác đều.

Các phép quay biến tam giác đều thành chính nó là các phép quay 120°, 240° hoặc 360° tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình 11b) là hình vuông.

Các phép quay biến hình vuông thành chính nó là các phép quay 90°, 180°, 270°, 360° tâm I cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình 11c) là ngũ giác đều.

Các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72°, 144°, 216°, 288°, 360° tâm A cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình 11d) là lục giác đều.

Các phép quay biến lục giác đều thành chính nó là các phép quay 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360° tâm B cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

• Hình11 e) là bát giác đều.

Các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là các phép quay 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° tâm C cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 2 trang 79 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Ta có 9 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 9 phần bằng nhau, số đo mỗi cung là:

360° : 9 = 40°.

Vì $\large \widehat{AOB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ nên $\large \widehat{AOB}=40^{o}$

Do OA = OB = R nên tam giác AOB cân tại O

$\large \rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\frac{180^{o}-\widetilde{AOB}}{2}=70^{o}$

Tương tự, ta có $\large \widehat{COB}=40^{o}$

$\large \rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\frac{180^{o}-\widetilde{BOC}}{2}=70^{o}$

Ta có $\large \widehat{ABC}=\widehat{OBA}+\widehat{OBC}=70^{o}+70^{o}=140^{o}$

b) Các phép quay 40°, 80°, 120°, 160°, 200°, 240°, 280°, 320° hoặc 360° tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ biến đa giác thành chính nó.

Bài 3 trang 80 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Đường viền ngoài của chiếc đồng hồ trong Hình 13 được làm theo hình bát giác đều.

Ta có 8 đỉnh của đa giác được chia thành 8 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 45°.

Do đó, các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° theo chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 4 trang 80 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Hình tam giác đều GHK, hình vuông MNPQ, hình lục giác đều ABCDEF có các đỉnh nằm trên (O; R) được vẽ như hình dưới đây.

b) •Xét tam giác đều GHK.

Kẻ đường cao GI (I $\large \in$ HK). Xét tam giác GIK vuông tại I, ta có:

$\large GI=\frac{3}{2}GO=\frac{3}{2}R$

$\large GI=GK.\sin K\Rightarrow GK =\frac{GI}{\sin K}=\frac{\frac{3}{2}R}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=R\sqrt{3}$

Xét hình vuông MNPQ.

Tam giác NOP vuông tại O.

Theo định lí Pythagore, ta có: NP² = ON² + OP² = R² + R²= 2R².

$\large \Rightarrow NP=R\sqrt{2}$

Xét hình lục giác đều ABCDEF.

Tam giác AOB có OA = OB và $\large \widehat{AOB}=\frac{360^{o}}{6}=60^{o}$ nên là tam giác AOB đều.

=> AB = OA = OB = R.

Vậy cạnh của tam giác đều GHK là $\large R\sqrt{3}$ , cạnh hình vuông MNPQ là $\large R\sqrt{2}$ và cạnh hình lục giác đều ABCDEF là R.

Bài 5 trang 80 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Các hình phẳng có tính đều trong tự nhiên như con sao biển, bông hoa, lát cam,...

b) Các hình phẳng có tính đều trong sản xuất, thiết kế, mĩ thuật: trang trí nội thất, gạch,...

Bài 6 trang 80 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Ta có 12 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 12 phần bằng nhau. Số đo mỗi cung là 30°.

Do đó, các phép quay biến đa giác này thành chính nó là các phép quay 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330° hoặc 360° theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.

3.3 Bài tập đa giác đều toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 85 sgk toán 9/2 cánh diều

Do ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau nên AB = BC = CD = DE = EA.

Xét $\large \Delta$ ABE có AB = AE nên $\large \Delta$ ABE cân tại A $\large \Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{AEB}$

Lại có $\large \widehat{ABE}+\widehat{AEB}+\widehat{BAE}=180^{o}$ (tổng ba góc của một tam giác)

$\large \rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{AEB}=\frac{180^{o-\widehat{BAE}}}{2}=\frac{180^{o}-108^{o}}{2}=36^{o}$

Chứng minh tương tự với $\large \Delta$ BCD ta cũng có $\large \widehat{CBD}=\widehat{CDB}=36^{o}$

Ta có: $\large \widehat{ABC}=\widehat{ABE}+\widehat{EBD}+\widehat{DBC}$

$\large \rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{ABC}-\widehat{ABE}-\widehat{CBD}=108^{o}-36^{o}-36^{o}=36^{o}$

Xét $\large \Delta$ ABE và $\large \Delta$ CDB có:

AB = CD; $\large \widehat{BAE}=\widehat{DCB}=108^{o}; AE=CB$

Do đó $\large \Delta$ ABE = $\large \Delta$ CDB (c.g.c)

=> BE = BD (hai cạnh tương ứng)

Nên $\large \Delta$ BDE cân tại B, suy ra $\large \widehat{BED}=\widehat{BDE}$ .

Lại có $\large \widehat{EBD}+\widehat{BED}+\widehat{BDE}=180^{o}$ (tổng ba góc của một tam giác)

$\large \Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{BDE}=\frac{180^{o}-\widehat{EBD}}{2}=\frac{180^{o}-36^{o}}{2}=72^{o}$

Khi đó: $\large \widehat{AED}=\widehat{AEB}+\widehat{BED}=36^{o}+72^{o}=108^{o}$

Và $\large \widehat{AED}=\widehat{AEB}+\widehat{BED}=36^{o}+72^{o}=108^{o}$

Như vậy, $\large \widehat{EAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDE}=\widehat{DEA}=108^{o}$ .

Vậy ngũ giác ABCDE có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau nên ABCDE là ngũ giác đều.

Bài 2 trang 85 sgk toán 9/2 cánh diều

Theo cách bạn Đan làm thì khi mở ra sẽ được một hình lục giác tạo bởi 6 tam giác đều (tam giác cân có góc ở đỉnh là 60°) nên theo kết quả của Luyện tập, trang 83, SGK Toán lớp 9, Tập 2 thì hình được tạo ra chính là một lục giác đều.

Bài 3 trang 85 sgk toán 9/2 cánh diều

Trong tự nhiên hay trong nghệ thuật, trang trí, thiết kế, công nghệ, một số vật thể mà cấu trúc của nó có dạng hình đa giác đều để tạo ra sự đối xứng cân bằng như:

⦁ Tam giác đều: Biển báo giao thông; mặt kim tự tháp; kệ sách hình tam giác; khuôn đặt bi-a; một số thiết kế trang trí nghệ thuật;…

⦁ Hình vuông: Viên gạch lát nền; mặt bàn; mặt ghế; mặt xúc sắc; cái đĩa hình vuông.

⦁ Lục giác đều: Đèn trần; hộp đựng bánh kẹo Tết; nhiều trang trí hình lục giác đều.

Bài 4 trang 85 sgk toán 9/2 cánh diều

Vẽ trên giấy 4 hình tam giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (tứ diện đều):

Vẽ trên giấy 8 hình tam giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (bát diện đều):

Vẽ trên giấy 6 hình vuông bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành cái chao đèn (hình lập phương):

Vẽ trên giấy 12 hình ngũ giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (thập nhị diện đều):

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học Lý thuyết đa giác đều toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán 9 THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: