Chi tiết các cách giải bất phương trình Logarit kèm ví dụ dễ hiểu nhất

Để tìm được cách giải bất phương trình Logarit nhanh và chính xác nhất trước tiên cần nắm được kiến thức tổng quát về bất phương trình Logarit. Xem tại bảng dưới đây nhé!

Tổng quan về bất phương trình logarit

1. Ôn lại lý thuyết bất phương trình Logarit

1.1. Bất phương trình Logarit cơ bản Toán 12

Bất phương trình Logarit cơ bản có dạng:

$log_{a}x> b; log_{a}x\geqslant b; log_{a}x< b, log_{a}x\leqslant b (a> 0, a\neq 1, x> 0)$

Các dạng bài tập về bất phương trình Logarit cơ bản thường gặp là:

- Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)< log_{a}g(x)$

Để giải bất phương trình $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$ ta thực hiện các phép đổi sau

$log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$ tương đương với: 

$\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ 0< f(x)< g(x) &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ 0< f(x)< < g(x) &  & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0< < a\neq 1 &  &  & \\f(x)> 0&  &  & \\ g(x)> 0)&  &  & \\  (a-1)[f(x)- g(x)]< 0&  &  & \end{matrix}\right.$

- Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)< b$

Cách giải bất phương trình Logarit dạng $log_{a}f(x)< b$ ta thực hiện các phép đổi sau

$log_{a}f(x)< b$ khi và chỉ khi: $log_{a}f(x)< b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a>1 &  & \\ 0<f(x)< a^{b}&  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}0<a<1 &  & \\ f(x)>a^{b} &  & \end{matrix}\right.$

- Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)> b$

Để giải bất phương trình $log_{a}f(x)> b$ ta thực hiện các phép đổi sau:

$log_{a}f(x)> b$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ f(x)>a ^{b} &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}0< a< 1&  & \\ 0< f(x)< a ^{b} &  & \end{matrix}\right.$

2. Các cách giải bất phương trình Logarit cơ bản

2.1. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

• Lý thuyết cần nhớ

- Công thức để biến đổi bất phương trình Logarit cơ bản về cùng cơ số là: 

$log_{a}f(x)> log_{a}g(x) (a> 0; f(x)> 0; g(x)> 0)$

$log_{a}f(x)> b \Leftrightarrow f(x) > {a^b}(a > 1;f(x) > 0)$

- Đặc biệt: Đối với các phương trình hoặc bất phương trình Logarit, ta luôn phải nhớ đặt điều kiện để các biểu thức $log_{a}f(x)$ có nghĩa. Cụ thể là f(x)>0.

Ví dụ 1: ${\log _3}(2x + 1) > {\log _3}5$

Điều kiện: $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - {\textstyle{1 \over 2}}$

Ta có: ${\log _3}(2x + 1) > {\log _3}5 \Leftrightarrow (2x + 1) > 5 \Leftrightarrow 2x > 4 \Leftrightarrow x > 2$

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 > 0$ 

$\Leftrightarrow x <  - 3$

2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

• Lý thuyết cần nhớ

- Với phương trình hoặc bất phương trình có dạng biểu thức ${\log _a}f(x)$ thì ta có thể đặt ẩn phụ theo dạng $t = {\log _a}f(x)$

- Luôn phải đặt điều kiện để biểu thức ${\log _a}f(x)$ có nghĩa là $f(x)>0.$

- Lưu ý khi giải bất phương trình Logarit ta cần chú ý đặc điểm của bất phương trình đang xét (có chứa dấu căn hay không, có ẩn ở mẫu hay không…) để đưa ra cách giải bất phương trình Logarit và đưa ra điều kiện phù hợp.

Ví dụ 1: $4{\log _9}x + {\log _x}3 - 3 > 0$

Điều kiện: $0 < x \ne 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow 2{\log _3}x + {\textstyle{1 \over {{{\log }_3}x}}} - 3 > 0$

Đặt $t=log_{3}x$

Bất phương trình $2t + {\textstyle{1 \over t}} - 3 > 0 \Leftrightarrow {\textstyle{{2{t^2} - 3t + 1} \over t}} > 0$

Tương đương với: $t > 1$ hoặc $0 < t < {\textstyle{1 \over 2}}$

$ \Leftrightarrow log _3x > 1$ hoặc $0 < log_{3}x < \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow $ $x>3$ (TMĐK) hoặc $1<x<\sqrt{3}$ (TMĐK)

2.3. Cách giải bất phương trình Logarit cơ bản bằng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

• Lý thuyết cần nhớ

- Trong một số trường hợp ta không thể áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ để giải bất phương trình Logarit thì ta có thể sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

- Cách giải bất phương trình Logarit này thường được sử dụng để giải bất phương trình logarit có nhiều cơ số khác nhau.

- Để áp dụng phương pháp này ta chỉ cần biến đổi bất phương trình về dạng hàm số rồi xét tính đơn điệu và tìm ra nghiệm (hoặc tập nghiệm).

Ví dụ: $x + {\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1$

Điều kiện: $x>-1$

Bất phương trình: $x + {\textstyle{1 \over 2}}{\log _2}(x + 1) + {\textstyle{1 \over 2}}{\log _3}(x + 9) > 1$

$\Leftrightarrow g(x) = 2x + {\log _2}(x + 1) + {\log _3}(x + 9) > 2$

$g'(x) = 2 + {\textstyle{1 \over {(x + 1)In2}}} + {\textstyle{1 \over {(x + 9)In3}}} > 0$

$\Leftrightarrow g(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$

3. Các cách giải bất phương trình Logarit chứa tham số

3.1. Cách giải bất phương trình Logarit cơ bản bằng phương pháp dùng dấu tam thức bậc hai

• Lý thuyết cần nắm: 

Xét hàm số $f(x)=ax^{2}+ bx+ c$ có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} và x_{2}$

- Ta có $\Delta =b^{2}- 4ac$ và định lý Vi-ét $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2}= -\frac{b}{a}&  & \\ x_{1}x^{2}=\frac{c}{a}&  & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x)=0 có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & & \\ x_{1}+ x_{2}> 0& & \\ x_{1}x^{2}> 0& & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x) >0 có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$

- Bất phương trình f(x)>0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

- Bất phương trình f(x)<0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 1: Mã 105 2017 Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình $log_{2}^{2}x-log_{2}x+3m-2< 0$

A. m<1

B. $m\leqslant 1$

C. m<0

D. $m< \frac{2}{3}$

Chọn A: Đặt $t=log_{2}x (x>0)$ ta có bất phương trình $t^{2}-2t+3m-2< 0$

Để bất phương trình luôn có nghiệm thì: $\Delta '=3-3m> 0\Leftrightarrow m< 1$

Ví dụ 2: (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $og (2x^{2}+3)> log(x^{2}+mx+1)$ có nghiệm là R

A. -2<m<2

B. $m< 2\sqrt{2}$

C. $-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}$

D. m<2

Lời giải:

Ta có: $log (2x^{2}+3)> log(x^{2}+mx+1)$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}+mx+1> 0 &  & \\ 2x^{2}+3> x^{2}+mx+1  &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}+mx+1>0 &  & \\ x^{2}-mx+2>0 &  & \end{matrix}\right.*$

Để bất phương trình $log (2x^{2}+3)> log(x^{2}+mx+1)$ có tập nghiệm R thì hệ (*) có tập nghiệm là R

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =m^{2}-4< 0 &  & \\ \Delta =m^{2}-8< 0 &  & \end{matrix}\right.$

3.2. Cách giải bất phương trình Logarit cơ bản bằng phương pháp đặt ẩn phụ

• Lý thuyết cần nắm:

- Đặt $t=a^{u(x)}$ hoặc $t=log_{a}u^{x}$

- Tùy theo điều kiện của x, ta sẽ tìm được tập xác định của biến t.

Ví dụ 1: (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Xét bất phương trình $log^{_{2}^{2}}2x-2(m+1)log_{2}x-2<0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng $(\sqrt{2};+\infty )$

A. $m\in (0;+\infty )$

B. $m\in (-\frac{3}{4};0)$

C. $m\in (-\frac{3}{4}$

D. $m\in (-\infty ;0)$

Lời giải

Điều kiện x>0

$log^{_{2}^{2}}2x-2(m+1)log_{2}x-2<0$

$\Leftrightarrow (1+log_{2}x)^{2}- 2 (m+1)log_{2}x-2< 0$ (1)

Đặt $t=log_{2}x $ Vì $x> \sqrt{2}$ nên $log_{2}x >log_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}$ do đó $t\in (\frac{1}{2};+\infty )$

(1) thành $(1+t)^{2}-2(m+1)t-2< 0\Leftrightarrow t^{2}-2mt-1<0$ (2)

Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để BPT (2) có nghiệm thuộc $ (\frac{1}{2};+\infty )$

Xét bất phương trình (2) ta có: $\Delta '=m^{2}+1> 0,\forall m\in R$

$f(t)= t^{2}-2mt-1=0$ có ac<0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt $t_{1}< 0< t_{2}$

Khi đó cần: $\frac{1}{2}< t_{2}\Leftrightarrow m+\sqrt{m^{2}+1}> \frac{1}{2}\Leftrightarrow m> -\frac{3}{4}$

3.3. Cách giải bất phương trình Logarit cơ bản bằng phương pháp xét hàm số

• Lý thuyết cần nắm:

- Đưa bất phương trình về dạng f(u)>f(v) với f(t) là hàm số đơn điệu và đại diện cho cả 2 vế của bất phương trình. 

- Khi đó, $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u> v$

Ví dụ:

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình $log_{2}(\frac{3x^{2}+m+1}{2x^{2}-x+1})-1< x^{2}-5x+1-m$ có tập nghiệm là R

A.3

B.2

C.1 

D.0

Lời giải

Điều kiện: $3x^{2}+3x+m+1> 0 $

Ta có: 

$log_{2}(\frac{3x^{2}+m+1}{2x^{2}-x+1})-1< x^{2}-5x+1-m $

$\Leftrightarrow log_{2}(3x^{2}-3x+m+1)+log_{2}(4x^{2}-2x+2)< (4x^{2}-2x+2)-(3x^{2}-3x+m+1)$

$\Leftrightarrow log_{2}(4x^{2}-2x+2)+(4x^{2}-2x+2)> log_{2} (3x^{2}-3x+m+1)$ (1)

Xét hàm số $f(t)=t+log_{2}t $ trên $(0;+\infty )$, ta có $f'(t)=1+\frac{1}{t.In2}> 0$

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên $(0;+\infty )$

Suy ra (1) $\Leftrightarrow f(4x^{2}-2x+2)> f(3x^{2}-3x+m+1)$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+m+1> 3x^{2}-3x+m+1\Leftrightarrow x^{5}-5x-m+1> 0$

Bất phương trình có tập nghiệm là Rkhi và chỉ khi:

$\left\{\begin{matrix}x^{5}-5x-m+1> 0 (1.1)&  & \\ 3x^{2}-3x+m+1>0 (1.2)&  & \end{matrix}\right.\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta _{1}< 0&  & \\ \Delta _{2}< 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4m+21<0 &  & \\ -12m-3<0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m< -\frac{21}{4} &  & \\ m>-\frac{1}{4}&  & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm là R

Xem thêm: Cách giải bất phương trình Logarit bằng máy tính

Đăng ký ngay để nhận được bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán tốt nghiệp THPT

4. Các bài tập về BPT Logarit hay nhất, có lời giải 

Tải trọn bộ đề + đáp án bài tập Bất phương trình logarit tại: 

>>>Tuyển chọn BT bất phương trình logarit<<<

Bạn cũng có thể xem thêm livestream Bất phương trình logarit của thầy Thành Đức Trung để nắm trọn các dạng bài phần kiến thức này nhé: 

Hy vọng rằng sau bài viết này, các bạn đã nắm được các cách giải bất phương trình Logarit và áp dụng chúng để giải mọi bài toán liên quan trong chương trình Toán 12 nói chung cũng như trong quá trình ôn thi Toán tốt nghiệp THPT. Chúc các bạn học sinh đạt được kết quả tốt trong thời gian sắp tới.

>>>Bài viết liên quan:

Lý thuyết về nguyên hàm

Tập nghiệm của Bất phương trình Logarit

Bất phương trình Logarit chứa tham số

Giải bất phương trình logarit khác cơ số