Bất phương trình Logarit cơ bản - đầy đủ và dễ hiểu nhất

Tổng quan về Bất phương trình Logarit cơ bản

1. Ôn tập định nghĩa bất phương trình Logarit cơ bản

Nếu phương trình Logarit có dạng $log_a{x}= b (a> 0; a\neq1)$ thì bất phương trình logarit sẽ có dạng $log_a{x}> b, log_a{x}\geqslant b, log_a{x}< b, log_a{x}\leqslant b$

Hướng dẫn một số cách tìm nghiệm cho bất phương trình Logarit cơ bản $log_a{x}> b$

- Xét bất phương trình $log_a{x}> b$ 

+ Trường hợp a > 1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp 0< 0<1 : $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Vẽ đồ thị minh họa bất phương trình  $log_a{x}> b$ với đồ thị hàm số $y = log_a{x}$ và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Trường hợp a>1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp 0<a<1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được thể hiện như sau:

Hướng dẫn một số cách tìm nghiệm cho bất phương trình log_a{x}< b$:

- Xét bất phương trình $log_a{x}< b$

+ Trường hợp $a> 0:log_a{x}< b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

+ Trường hợp $0< a<  1: log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

Vẽ đồ thị minh họa bất phương trình $log_a{x}< b$  với đồ thị hàm số $y= log_a{x}$ và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Trường hợp a>1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp 0<a<1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được thể hiện như sau:

2. Các công thức bất phương trình Logarit cơ bản và hướng dẫn cách giải chi tiết

2.1 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$

Phương pháp giải bất phương trình Logarit

Để bất phương trình dạng $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$ ta thực hiện phép biến đồi sau

Hoặc $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)\left\{\begin{matrix}
 a> 0&  & \\ 
 0< f(x)< g(x)&  & 
\end{matrix}\right.$

Hoặc $\left\{\begin{matrix}
 0< a< 1&  & \\ 
 f(x)>  g(x)< 0&  & 
\end{matrix}\right.$

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình $log_{\frac{1}{5}}(3x-5)> log_{\frac{1}{5}}(x+1)$

Điều kiện $(3x-5)> 0, x+1> 0\Rightarrow x> \frac{5}{3}$

Vì bất phương trình có cơ số <1 nên:

$log_{\frac{1}{5}}(3x-5)> log_{\frac{1}{5}}(x+1)\Leftrightarrow 3x-5< x+1\Leftrightarrow 2x< 6\Leftrightarrow x< 3$

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm $(\frac{5}{3};3)$

Ví dụ 2: 

Giải bất phương trinh $log_{3}(x^{2}-1)< 1-log_{\frac{1}{3}}(x-1)$

- Cách 1

Điều kiện $x^{2}-1> 0, x-1> 0\Leftrightarrow x> 1$

$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1) \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-1)< log_{3}(x-1))$

$\Leftrightarrow x^{2}-1< 3(x-1)\Leftrightarrow x_{2}-3x+2< 0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)< 0\Leftrightarrow 1< x< 2$

Kết hợp với điều kiện bất phương trình có nghiệm (1;2)

- Cách 2

$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1)) \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-1)<1+  log_{3}(x-1)$

$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1)) \Leftrightarrow 0< x^{2}-1< 3(x-1)$

$\left\{\begin{matrix}x^{2}-1>0&&\\x^{2}-3x+2<0&&\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left | x \right | > 1&  & \\ 1< x< 2&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1< x< 2$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (1;2)

2.2 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)< b$

Phương pháp giải bất phương trình Logarit

Để giải bất phương trình dạng $log_{a}f(x)< b$ ta thực hiện phép biến đổi sau

$log_{a}f(x)< b$ khi và chỉ khi hoặc:

+ $\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ 0< f(x) < a^{b}&  & \end{matrix}\right.$

+ $\left\{\begin{matrix}0< a< 1 &  & \\ 0< f(x)> g(x) < a& & \end{matrix}\right.$

Ví dụ

Giải phương trình: $log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$

Điều kiện $\left\{\begin{matrix}x^{2}-6x+10> 0&  & \\ x-4& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-3)^{2}+ 9> 0&  & \\ x> 4&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> 4$

Ta có:

$log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$

$\Leftrightarrow -log_{3}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$

$\Leftrightarrow (x-4)^{2}< (x^{2}-6x+18)$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x+16< x^{2}-6x+18$

$\Leftrightarrow 2x> -2\Leftrightarrow x> -1$

Kết hợp với điều kiện BPT có tập nghiệm: $x> 4$

2.3 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x) > b$

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình dạng $log_{a}f(x)> b$ ta thực hiện các phép đổi sau

$log_{a}f(x)> b$ khi và chỉ khi hoặc:

+ $\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ f(x)>a^{b} &  & \end{matrix}\right.$

+ $\left\{\begin{matrix}0< a< 1&  & \\ 0< f(x)< a^{b}&  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ

Giải phương trình: $log_{8}(4-2x)\geqslant 2$

Điều kiện: $4-2x> 2\Rightarrow x< 2$

Ta có: $log_{8}(4-2x)\geqslant 2\Leftrightarrow log_{8}(4-2x)\geqslant log_{8}8^{2}$

$\Leftrightarrow 4-2x\geqslant 8^{2}\Leftrightarrow 2x\leqslant 60\Leftrightarrow x\leqslant -30$

Kết hợp với điều kiện BPT có tập nghiệm $(-\infty;30]$

Xem thêm: Cách giải bất phương trình Logarit

3. Bài tập bất phương trình Logarit cơ bản - có đáp án

Các em tải bộ đề tại: Bài tập bất phương trình Logarit cơ bản

Các em cũng có thể xem thêm Livestream về Bất phương trình Logarit của thầy Thành Đức Trung tại:

Trên đây là toàn bộ công thức bất phương trình logarit cơ bản cũng như những dạng bài điển hình mà các em thường gặp nhất trong các đề thi THPTQG. Các em nhớ theo dõi các bài viết trên trang để có thêm nhiều kiến thức mới nhé!