Đạo hàm cấp hai là gì? Bài tập đạo hàm cấp hai

Tác giả Minh Châu 10:52 06/12/2023 13,985 Tag Lớp 11

VUIHOC gửi đến các bạn các kiến thức liên quan đến định nghĩa, ý nghĩa và bài tập vận dụng đạo hàm cấp hai chi tiết và đầy đủ nhất. Mời các bạn tham khảo ngay bài viết dưới đây nhé!

Đạo hàm cấp hai là gì? Bài tập đạo hàm cấp hai

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

1.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x $\large \in$ (a;b). Khi đó hệ thức y' = f'(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x.

- Ký hiệu đạo hàm cấp hai: y'' hoặc f''(x)

- Mở rộng: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) cũng có định nghĩa tương tự và ký hiệu là y''' ; f'''(x) hoặc f⁽³⁾(x). Khi đó đạo hàm cấp n của f(x) là f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))'

- Đặc biệt: f⁽⁰⁾(x) = f(x)

1.2 Đạo hàm cấp cao của một số hàm số

$\large (sinx)^{(n)}=sin\left ( x+\frac{n\pi }{2}\right )$

$\large (cosx)^{(n)}=cos\left ( x+\frac{n\pi }{2}\right )$

Nếu $\large n\leq m$ thì $\large (x^{m})^{(n)} = m(m-1)...(m-n-1).x^{m-n}$

Nếu n > m thì $\large (x^{m})^{(n)} =0$

$\large y=sin(ax+b)=> y^{(n)}=a^{n}sin\left (ax+b+\frac{n\pi }{2} \right )$

$\large y=cos(ax+b)=> y^{(n)}=a^{n}cos\left (ax+b+\frac{n\pi }{2} \right )$

$\large y=\frac{1}{ax+b}=> y^{n}=\frac{(-1)^{n}.n!.a^{n}}{(ax+b)^{n+1}}$

$\large y=\sqrt[m]{ax+b}$

$\large => y^{(n)}=\frac{1}{m}.\left ( \frac{1}{m}-1 \right )...\left ( \frac{1}{m}-n+1 \right ).a^{n}.(ax+b)^{\frac{1}{m}-n}$

Đăng ký ngay khóa học DUO 11 để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

- Đạo hàm cấp 2 f''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

- Ví dụ: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = 2t³ - t² + 5t . Tính gia tốc của chuyển động trong đó thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng mét.

Gia tốc của chuyển động là a = S'' = (2t³ - t² + 5t)'' = (6t² - 2t + 5)' = 12t - 2 (m/s²)

3. Bài tập vận dụng đạo hàm cấp hai

a. Cho f(x) = (x + 5)³. Tính f''(5)

Ta có: f''(x) = ((x + 5)³)'' = 6x + 30 => f''(5) = 6.5 +30 = 60

b. Cho hàm số y = sinx. Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số đó

Ta có y'' = (sinx)'' = (cosx)' = -sinx

c. Tính gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình S(t) = 7t⁵ - 3t + 2

a = S''(t) = (7t5 - 3t + 2)'' = (35t⁴ -3)' = 140t³

d. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx

y' = (tanx)' = 1/cos²x => y'' = 2sinx/cos³x

e. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = cos²x

y' = (cos²x)' = -sin2x => y'' = -2cos2x

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Hy vọng qua bài viết trên các em đã biết được cách tính đạo hàm cấp hai của hàm số và có thể mở rộng để tính toán đạo hàm cấp cap hơn. Đạo hàm là phần kiến thức quan trọng sẽ xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy các em cần chú ý nắm chắc kiến thức đạo hàm cũng như đạo hàm cấp hai trong chương trình toán 11. Truy cập trang web vuihoc.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán học hữu ích nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: