Đầy đủ lý thuyết và bài tập đạo hàm mũ và logarit

Tác giả Minh Châu 15:07 05/09/2023 52,805 Tag Lớp 12

Nói đến hàm số mũ và logarit, chúng ta không thể bỏ qua dạng bài tập đạo hàm mũ và logarit cơ bản. Đây là phần kiến thức cực quan trọng xuyên suốt chương trình học Cấp 3, đặc biệt là lớp 12 ôn thi đại học. Ở bài viết này, các em sẽ cùng VUIHOC điểm lại đầy đủ lý thuyết và cùng giải bài tập đạo hàm của hàm số mũ và logarit.

Đầy đủ lý thuyết và bài tập đạo hàm mũ và logarit

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Để có cái nhìn tổng quát hơn về kiến thức đạo hàm mũ và logarit cũng như nhận dạng độ khó của các câu hỏi bài tập liên quan, VUIHOC đã tổng hợp giúp các em tổng quan về hàm số mũ và logarit tại bảng dưới đây:

Chi tiết hơn, các em tải file tổng hợp lý thuyết về hàm số mũ và logarit - đạo hàm mũ và logarit cực chi tiết và đầy đủ do các thầy cô chuyên môn VUIHOC biên soạn theo link dưới đây để về ôn tập nhé!

Tải xuống file lý thuyết hàm số - đạo hàm hàm số mũ và logarit cực đầy đủ và chi tiết

1. Tổng quan lý thuyết chung

Trước khi đi vào đạo hàm mũ và logarit, ta cần hiểu định nghĩa chung nhất về đạo hàm để có cái nhìn chuẩn xác về nó nhất.

1.1. Lý thuyết về đạo hàm - căn bản về đạo hàm mũ và logarit

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa: Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_0$ khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ .
Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được ký hiệu là $y'(x_0)$ hoặc $f'(x_0)$.

$f'(x_{0}) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

Hoặc

$y'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Lưu ý:

Số gia của đối số là $x=x-x_0$
Số gia của hàm số là $y=y-y_0$
Giá trị đạo hàm tại 1 điểm $x_0$ thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này.

1.1.2. Một số quy tắc áp dụng chính cho đạo hàm mũ và logarit

Dưới đây là 3 quy tắc đạo hàm được vận dụng rất nhiều trong các bài tập đạo hàm mũ và logarit. Các em lưu ý nắm chắc lý thuyết 3 quy tắc này để không gặp khó khăn trong các phần đạo hàm hàm mũ và logarit sau:

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
- Định lý 1: Hàm số $y=x^n$ $(n\in \mathbb{N}, n>1)$ có đạo hàm với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $(x^n)'=n.x^{n-1}$
- Định lý 2: Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm với mọi x dương và $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
- Định lý 3: Giả sử $u=u(x)$, $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định, ta có:
  (u + v)' = u' + v'
  (u - v)' = u' - v'
  (uv)' = u'v + uv'
  $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}; (v = v(x) \neq 0)$

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì $(ku)’=ku’$
Hệ quả 2: $(\frac{1}{v})=-\frac{v'}{v^2} (v=v(x)\neq 0)$
Đạo hàm của hàm hợp: (định lý 4) Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm tại x là u'_x và hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y'_uthì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm (theo x) là $y'_x=y'_u.u'_x$ . Ta có bảng sau:
(u + v - w)' = u' + v' - w'
(ku)' = ku' (với k là hằng số)
(uv)' = u'v + uv'
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}; (v = v(x) \neq 0)$
$(\frac{1}{v})'= \frac{-v'}{v^{2}}$
y'_x = y'_u.u'_x

1.2. Lý thuyết về hàm số mũ

Trước khi đi sâu vào đạo hàm mũ và logarit, chúng ta cùng tìm hiểu lý thuyết về hàm số mũ trước tiên.

1.2.1. Định nghĩa

Trong chương trình Giải tích THPT, các em đã được học lý thuyết về hàm số mũ như sau:

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y= a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$.

1.2.2. Tính chất

Xét hàm số mũ $y= a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$, ta có đặc trưng của hàm số mũ như sau:

Tập xác định: $\mathbb{R}$
Đạo hàm: $x\in \mathbb{R}$ , $y'=a^x.lna$
Chiều biến thiên:
- Nếu $a>1$: hàm số luôn đồng biến
- Nếu $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến
Đồ thị:

Đồ thị của hàm số mũ và logarit

Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang
Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành và luôn cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ và luôn đi qua điểm $(1;a)$

1.3. Lý thuyết về hàm số logarit

1.3.1 Định nghĩa và tập xác định

Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.

Hàm số $y=log_ax$ ($a>0$, $a\neq 1$) có tập xác định $D=(0;+\infty )$

Do $log_ax\in R$ nên hàm số $y=log_ax$ có tập giá trị là $T=\mathbb{R}$.

Xét trường hợp hàm số $y=log_a[P(x)]$ điều kiện $P(x)>0$. Nếu a chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $a>0$, $a\neq 1$

Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[P(x)]^n$ điều kiện $P(x)>0$ nếu n lẻ; $P(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn.

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

1.3.2. Đồ thị hàm logarit

Đồ thị hàm logarit

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$, ($a>0$, $a\neq 1$) đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).

2. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit

2.1. Lý thuyết về đạo hàm mũ và logarit

Về tổng quát, công thức chung của đạo hàm hàm mũ và logarit sẽ có dạng như sau:

Đạo hàm mũ:

Cho hàm số y=a^x . Đạo hàm của hàm số là:

Trường hợp tổng quát hơn, y=a^u(x) . Ta có:

Đạo hàm logarit:

Cho hàm số y=log_ax . Khi đó đạo hàm của hàm số trên là:

đạo hàm logarit

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số y=log_au(x) . Đạo hàm là:

công thức đạo hàm logarit

2.2. Công thức đạo hàm mũ và logarit

Để giúp các em ôn tập cũng như giải các bài toán đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhanh và tiện lợi nhất, các thầy cô chuyên môn toán của VUIHOC đã tổng hợp và chọn lọc toàn bộ công thức đạo hàm hàm mũ và logarit sau:

Hàm số mũ:

Công thức đạo hàm hàm số mũ

Hàm số logarit:

Công thức đạo hàm hàm số logarit

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng ôn kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp với bản thân nhất

2.3. Các dạng bài tập tính đạo hàm hàm số mũ và logarit

Để hiểu hơn cách áp dụng lý thuyết và công thức trên, các em hãy cùng VUIHOC xem xét các ví dụ bài tập đạo hàm của hàm số mũ và logarit sau đây:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau

Ví dụ về đạo hàm hàm số mũ và logarit

Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau

$y=(x^2+1).2^{2x}$

Là một hàm số có dạng tích của một hàm đa thức với một hàm số mũ. Vì vậy ngoài việc áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ thì chúng ta cần sử dụng đạo hàm mũ và logarit của một tích và đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

Ta có: $y=(x^2+1).2^{2x}$

$\Rightarrow y'=(x^2+1)'.2^{2x}+(x^2+1).(2^{2x})'$ (áp dụng đạo hàm $a^u$)

$\Rightarrow y'=2x.2^{2x}+(x^2+1).(2x)'.2^{2x}.ln2$

$\Rightarrow y'=2x.2^{2x}+(x^2+1).2.2^{2x}.ln2$

Ví dụ 3 - đạo hàm mũ và loagrit

3. Bài tập áp dụng đạo hàm của hàm số mũ và logarit

Để luyện tập thành thạo hơn về đạo hàm mũ và logarit, VUIHOC dành tặng riêng em bộ bài tập đạo hàm mũ và logarit cực hay kèm giải chi tiết ở link dưới đây. Nhớ tải về để ôn luyện nhé!

Tải xuống file bài tập đạo hàm mũ và logarit đầy đủ kèm giải chi tiết

Một nguồn tham khảo cực hiệu quả để luyện tập đạo hàm mũ và logarit đó là từ các bài giảng của thầy Thành Đức Trung - chuyên gia luyện thi toán với cực hiều những cách giải hay, nhanh và thú vị. Các em cùng thầy giải bài tập trong video dưới đây để hiểu kỹ hơn về cách làm bài tập đạo hàm mũ và logarit nhé!

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là tất tần tật lý thuyết, công thức đi kèm với các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm mũ và logarit. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp các em vượt qua mọi bài toán đạo hàm hàm số mũ và logarit.

>> Xem thêm: Đạo hàm của hàm số lượng giác