Đạo hàm trị tuyệt đối

Tác giả Nhã Lân 14:57 01/12/2023 49,208 Tag Lớp 12

Đạo hàm trị tuyệt đối là phần kiến thức xuất hiện rất nhiều trong quá trình làm bài tập hay trong các đề thi lớn, nhỏ hay thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Chính vì vậy, việc nắm chắc kiến thức về đạo hàm trị tuyệt đối vô cùng quan trọng để tránh nhầm lẫn trong quá trình làm bài. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu ngay về chuyên đề này.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm được hiểu là là giới hạn của tỉ số giữa 2 đại lượng là số gia của hàm số y = f(x) và số gia của đối số tại điểm x₀, khi số gia của đối số tiến dần về 0. Theo toán học, khái niệm này được nói là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀

Đạo hàm của hàm số y = f(x) ký hiệu là y’(x₀) hoặc f’(x₀).

Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x) là y'(x₀) hoặc f'(x₀):

Trong đó ta có:

Số gia của đối số ký hiệu là $\Delta x$ = x - x₀

Số gia của hàm sô ký hiệu là $\Delta y$ = y - y₀

Các em học sinh có thể hiểu:

Đạo hàm bằng $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ có giá trị rất nhỏ, giá trị đạo hàm tại điểm x₀ có ý nghĩa:

Chiều biến thiên của hàm số y = f(x) (thể hiện hàm số đang giảm hay đang tăng, xem đạo hàm tại âm - hay dương +)

Cho thấy được độ lớn của biến thiên này (ví dụ như đạo hàm bằng 1 cho thấy $\Delta y$ đang tăng dần bằng $\Delta x$ )

Đạo hàm trị tuyệt đối là gì?

Đạo hàm trị tuyệt đối là việc ta sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa ở trên với hàm số có dạng y = |x|

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} = \frac{f(x + \Delta x) - x}{\Delta x}$

Khi thay giá trị |x| vào biểu thức trên, đạo hàm trị tuyệt đối của x được tính theo công thức sau

$y' = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} = \frac{|x + \Delta x| - |x|}{\Delta x}$ (1)

Nhìn vào công thức đạo hàm (1) các em học sinh có thể thấy được đạo hàm trên không xác định khi $\Delta x = 0$ do hàm số y = |x| là hàm số không liên tục và có dạng như sau:

y = x nếu x $\geqslant$ 0

y = -x nếu x $<$ 0

Đồ thị của hàm số y = |x| được biểu thị trên hàm số như sau:

Chính vì vậy, ta không thể thay trực tiếp giá trị $\Delta x$ = 0 vào phương trình (1), ta cần phải biến đổi thành một dạng biểu thức khác có mẫu khác 0 rồi thay $\Delta x$ = 0 vào. Để làm được điều này, các em học sinh cần phải làm các bước sau:

Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng căn của bình phương (do |x| = $\sqrt{x^{2}}$ )

Ta có: $(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} - \sqrt{x^{2}}}{\Delta x}$

Bước 2: Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}}$ với mục đích tránh trường hợp mẫu số bằng 0

Lúc này ta có biểu thức

$(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} - \sqrt{x^{2}})(\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}})}{\Delta x(\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}})}$

$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{2} + x^{2}(x + \Delta x)^{2} - x^{2}(x + \Delta x)^{2} - x^{2}}{\Delta x(\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}})}$

$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{x^{2} + 2x\Delta x + \Delta x^{2} - x^{2}}{\Delta x(\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}})}$

$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{2x\Delta x + \Delta x^{2}}{\Delta x(\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}})}$

$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{2x + \Delta x}{\sqrt{(x + \Delta x)^{2}} + \sqrt{x^{2}}$ (2)

Do $\Delta x$ tiến về 0 và sau đó biến đổi, lúc này các em có thể thay $\Delta x$ = 0 và phương trình (2), ta có biểu thức:

$y = \frac{2x}{\sqrt{x^{2}} + \sqrt{x^{2}}}$

$y = \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}}}$

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}}$

$y = \frac{x}{|x|}$

Từ đó, ta đưa ra kết luận: Đạo hàm của hàm số y = |x| là

$y' = \frac{x}{|x|}$

Công thức hỗ trợ tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối

Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, các em học sinh có thể ghi vào sổ tay và nhớ một số công thức tính đạo hàm nhanh dưới đây:

Công thức tính nhanh hàm số phân thức bậc nhất: $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow f'(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^{2}}$

Công thức tính nhanh hàm số phân thức bậc 2: $f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n} \Rightarrow f'(x) = \frac{amx^{2} + 2anx +bn - cm}{(mx + n)^{2}}$

Công thức tính nhanh hàm số đa thức bậc ba: $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$

Công thức tính nhanh hàm số trùng phương: $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c \Rightarrow f'(x) = 4ax^{3} + 2bx$

Công thức tính nhanh hàm số chứa căn bậc hai: $f(x) = \sqrt{u(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$

Công thức tính nhanh hàm số chưa trị tuyệt đối: $f(x) = |u(x)| \Rightarrow f'(x) = \frac{u'(x).u(x)}{|u(x)|}$

Bài tập luyện tập đạo hàm trị tuyệt đối

Hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. y = f(x) = |x|

2. y = f(x) = |x²- 3x + 2|

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

y = x khi x $\geq$ 0 và y = -x khi x $<$ 0

Do đó:

y' = 1 khi x $\geq$ 0 và y' = -1 khi x $<$ 0

Xét giá trị khi x = 0

f'(0⁺) = $\lim_{x\rightarrow 0^{+}} 1 = 1$

f'(0^-) = $\lim_{x\rightarrow 0^{-}} 1 = 1$

Ta có f'(0⁺) $\neq$ f'(0^-) $\Rightarrow$ Hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 0

Kết luận: y' = 1 khi x $\geq$ 0 và y' = -1 khi x $<$ 0 và hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x = 0

2. Tập xác định của hàm số: D = R

Ta xét dấu của hàm số f(x) = x²- 3x + 2

Ta có:

f(x) = x² - 3x + 2 khi x $\leq$ 1 hoặc x $\geq 2$

f(x) = -x² + 3x - 2 khi 1 < x < 2

Ta xét y' tại các điểm tiếp giáp của các khoảng:

Tại x = 1

f'(1⁺) = $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (-2x + 3) = 1$

f'(1^-) = $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (2x - 3) = -1$

f'(1⁺) $\neq$ f'(1^-) $\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại x = 1

Tại x = 2

f'(2⁺) = $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} (2x - 3) = 1$

f'(2^-) = $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} (-2x + 3) = -1$

f'(2⁺) $\neq$ f'(2^-) $\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại x = 2

Kết luận:

f'(x) = 2x - 3 khi x $\leq$ 1 hoặc x $\geq 2$ và f'(x) = -2x + 3 khi 1 < x < 2 và hàm số f(x) = x² - 3x + 2 không tồn tại đạo hàm tại x = 1

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về đạo hàm trị tuyệt đối trong chương trình Toán 12, các công thức cũng như bài tập minh họa để các em có thể nắm chắc được kiến thức của chuyên đề này. Hy vọng qua bài viết trên sẽ giúp các em có thể dễ dạng giải quyết các dạng bài liên quan tới đạo hàm trị tuyệt đối trong quá trình học cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Chúc các em đạt kết quả tốt trong các kì thi sắp tới.

Bài viết tham khảo thêm:

Đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm Logarit

Đạo hàm cấp 2