Đề cương ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán chi tiết

Tác giả Hoàng Uyên 09:36 05/12/2023 3,836 Tag Lớp 12

Thời điểm thi học kì 1 đang đến gần, các em đừng bỏ qua bài viết tổng ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán của VUIHOC nhé. Toàn bộ những kiến thức và đề thi sát sườn nhất mà các thầy cô VUIHOC đã tổng hợp và lựa chọn giúp các em dễ dàng hơn trong quá trình ôn tập. Cùng theo dõi nhé!

Đề cương ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán chi tiết

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

a. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

- $\large \forall$ x₁, x₂ $\large \in$ K , x₁ < x₂ ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn) ta có:

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên K với đồ thị đi lên từ trái sang phải khi f(x₁) < f(x₂)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K với đồ thị đi xuống từ trái sang phải khi f(x₁) > f(x₂)

- Chú ý:

+ Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) nếu f'(x) > 0 $\large \forall$ x $\large \in$ (a;b)

+ Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu f'(x) < 0 $\large \forall$ x $\large \in$ (a;b)

+ Hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a;b) nếu f'(x) = 0 $\large \forall$ x $\large \in$ (a;b)

b. Cách tính đạo hàm

- Tổng hiệu: (u $\large \pm$ v)' = u' $\large \pm$ v'

- Tích: (u.v)' = u'.v + v'.u => (C.u)' = C.u'

- Thương: $\large \left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'.v-v'.u}{v^{2}} => \left ( \frac{C}{u} \right )'=\frac{-C.u'}{u^{2}}$

- Bảng công thức tính đạo hàm:

Đäo hàm của hàm sơ cấp	Đäo hàm của hàm hợp
(C)' = 0 ( C là hằng số)	(x^a)' = a.x^a-1
(x^a)' = a.x^a-1
$\large \left ( \frac{1}{x} \right )'=-\frac{1}{x^{2}} (x\neq 0)$	$\large \left ( \frac{1}{u} \right )'=-\frac{u'}{u^{2}} (u\neq 0)$
$\large (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x>0)$	$\large (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}(u>0)$
(sinx)' = cosx	(sinu)' = u'.cosu
(cosx)' = - sinx	(cosu)' = -u.sinu
$\large (tanx)'= \frac{1}{cos^{2}x}$	$\large (tanu)'= \frac{u'}{cos^{2}u}$
$\large (cotx)'=- \frac{1}{sin^{2}x}$	$\large (cotu)'=- \frac{u'}{sin^{2}u}$
(e^x)' = e^x	(e^u)' = u'.e^u
(ln\|x\|)' = 1/x	(ln\|u\|)' = u'/u
$\large (log_{a}\|x\|)'=\frac{1}{x\ln a}$	$\large (log_{a}\|u\|)'=\frac{u'}{u\ln a}$

1.2 Cực trị của hàm số

a. Điều kiện hàm cực trị

- Hàm số có điểm cực trị là:

$\large (x_{o};y_{o})\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y'(x_{o}) =0& \\ y(x_{o})=y_{o}& \end{matrix}\right.$

Nếu $\large \left\{\begin{matrix} f'(x_{o})=0& \\ f''(x_{o})<0& \end{matrix}\right.$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại x = x_o

Nếu $\large \left\{\begin{matrix} f'(x_{o})=0& \\ f''(x_{o})>0& \end{matrix}\right.$ thì hàm số f(x) đại cực tiểu tại x = x_o
b. Cực trị hàm số bậc ba

- Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d ( a $\neq$ 0)

Tính y' = 3ax² + 2bx + c

+ Hàm số có 2 cực trị

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ \Delta _{y'}>0 & \end{matrix}\right.(1)$

+ Điều kiện hàm số không có cực trị: Phủ định lại (1)

c. Cực trị hàm số bậc bốn

- Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a $\neq$ 0)

- Điều kiện cực trị:

+ ba cực trị: a.b < 0

+ Một cực trị: a.b $\geq$ 0 và a² + b² > 0

+ Có cực trị: a² + b² > 0

Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!

1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a. Tìm min - max trên đoạn

Bước 1: Tính y' = f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các nghiệm thuộc đoạn [a;b]

Bước 2: Tính các giá trị f(a), f(b)... nếu có

Bước 3: So sánh các giá trị và kết luận.

Đặc biệt:

b. Tìm min - max trên khoảng

Bước 1: Tính y' = f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Bước 2: Tính $\lim_{x\rightarrow a^{+}}y,\lim_{x\rightarrow b-}y$ , nếu thay (a;b) bằng $(-\infty ;+\infty )$ thì ta tính thêm $\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y$

Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng đó.

Đặc biệt:

1.4 Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số

>> Xem thêm: Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

1.5 Đường tiệm cận

a. Tiệm cận đứng

- Định nghĩa: $\left\{\begin{matrix} x\rightarrow x_{o} & \\ y\rightarrow \infty & \end{matrix}\right.$ trong đó x hữu hạn, y vô hạn => Ta có tiệm cận đứng x = x_o.

- Lưu ý: Điều kiện $x\rightarrow x_{o}$ có thể thay thế bằng $x\rightarrow x_{o}^{+}$ hoặc $x\rightarrow x_{o}^{-}$

- Cách tìm đường tiệm cận đứng: Nếu x = x_o là một nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số thì x = x_o chính là một TCĐ của đồ thị.

b. Tiệm cận ngang

- Định nghĩa $\left\{\begin{matrix} x\rightarrow \pm \infty & \\ y\rightarrow y_{o} & \end{matrix}\right.$ trong đó x vô hạn, y hữu hạn => Ta có tiệm cận ngang y = y_o

- Cách tìm tiệm cận ngang bằng máy tính CASIO:

- Lưu ý: Đồ thị hàm số dạng:

$y=\frac{ax+b}{cx+d} (c\neq 0; a.d-b.c\neq 0)$

Sẽ có 1 TCĐ : x = - d/c ; có 1 TCN y = a/c

- Đồ thị hàm số có thể có nhiều tiệm cận đứng nhưng chỉ có tối đa 2 tiệm cận ngang.

2. Ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

2.1 Công thức lũy thừa

Cho các số dương a, b và m,n $\large \in$ R, ta có:

a^o = 1
(a^m)ⁿ = a^m.n = (aⁿ)^m
aⁿbⁿ = (ab)ⁿ
aⁿ = a.a......a với n $\in$ $\mathbb{N}^{*}$ ( n thừa số a)
a^m.aⁿ = a^m+n
$\large \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}$
$\large a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
$\large \sqrt[m]{a^{n}}=a^{\frac{n}{m}}$

2.2 Công thức logarit

Cho các số a,b > 0, a $\neq$ 1, ta có:

log_ab = $\large \alpha$ $\large \Leftrightarrow$ $\large a^{\alpha }=b$
log_a1 = 0
$\large log_{a^{m}}b=\frac{1}{m}log_{a}b$
log_a(bc) = log_ab + log_ac
log_ab.log_bc = log_ac
lgb = logb = log₁₀b
log_aa = 1
log_abⁿ = nlog_ab
$\large log_{a}\left ( \frac{b}{c} \right )= log_{a}b-log_{a}c$
$\large \frac{log_{a}c}{log_{a}b}=log_{b}c$
log_aa^b = b

2.3 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

	Hàm số lũy thừa	Hàm số mũ	Hàm số logarit
Dạng	y = x^a y = u^a	y = a^x y = a^u Với a > 0 ; a $\large \neq$ 1	y = log_ax y = log_au Với a > 0 ; a $\large \neq$ 1
TXĐ	$\large \alpha \in \mathbb{Z}^{+}\overset{dk}{\rightarrow}u\in \mathbb{R}$ $\large \alpha \in \mathbb{Z}^{-}\overset{dk}{\rightarrow}u \neq 0$ $\large \alpha \notin\mathbb{Z}\overset{dk}{\rightarrow}u >0$	D = R	Đk: u > 0
Đạo hàm	y' = a.x^a-1 y' = $\large \alpha$ .u^a-1.u'	y' = a^xlna y' = a^xlna.u'	y' = 1/xlna y' = u'/ulna
Sự biến thiên	-	y = a^x a > 0 đồng biến trên R 0 < a < 1 nghịch biến trên R	y = log_ax a > 1 hàm đồng biến trên (0; $\large +\infty$ ) 0 < a < 1 hàm nghịch biến trên (0; - $\large \infty$ )

>> Xem thêm: Tổng ôn toàn bộ hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm logarit

2.4 Phương trình mũ và logarit

a. Phương trình mũ

- Dạng cơ bản: a^f(x) = a^g(x) $\Leftrightarrow$ f(x) = g(x)

- Dạng logarit hóa:

a^f(x) = b $\Leftrightarrow$ f(x) = log_a b
a^f(x) = b^g(x) $\Leftrightarrow$ f(x) = g(x).log_ab

b. Phương trình logarit

- Dạng cơ bản: log_af(x) = log_ag(x) $\Leftrightarrow$ f(x) = g(x) > 0

- Dạng mũ hóa: log_af(x) = b $\Leftrightarrow$ f(x) = a^b ( không cần điều kiện)

2.5 Bất phương trình mũ và logarit

- Dạng cơ bản BPT mũ:

a^f(x) $\geq$ a^g(x) $\Leftrightarrow$ f(x) $\geq$ g(x) ( a > 1)
a^f(x) $\geq$ a^g(x) $\Leftrightarrow$ f(x) $\leq$ g(x) (0 < a < 1)

- Dạng cơ bản BPT logarit:

log_af(x) $\geq$ log_ag(x) $\Leftrightarrow$ f(x) $\geq$ g(x) > 0
log_af(x) $\geq$ log_ag(x) $\Leftrightarrow$ 0 < f(x) $\leq$ g(x)

Giành lấy điểm 9+ môn Toán với bộ sách hỗ trợ học tập cực hay được biên soạn bởi các thầy cô dạy trường chuyên hàng đầu Việt Nam!!!

3. Đề cương ôn thi học kì 1 toán 12: Khối da diện

3.1 Khái niệm và tính chất của khối đa diện

a. Khái niệm

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện bao gồm cả bề mặt của hình đa diện đó.

- Các loại khối đa diện thường gặp:

b. Tính chất

- Tính chất 1: Trong một khối tứ diện đều, trong tâm của các mặt là đỉnh của một khối tứ diện đều khác. Trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đều là các đỉnh của khối bát diện đều.

- Tính chất 2: Tâm các mặt của khối lập phương sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.

- Tính chất 3: Tâm các mặt của khối bát diện điều là đỉnh của khối lập phương.

- Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện khi và chỉ khi chúng không thuộc cùng một cạnh của khối bát diện đó. Đoạn thẳng được tạo ra bởi hai đỉnh đối diện được gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó ta có:

+ Ba đường chéo cắt nhau giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

+ Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng cặp

+ Ba đường chéo có chiều dài bằng nhau.

- Tính chất 5: Một khối đa diện có ít nhất 4 mặt.

- Tính chất 6: Hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

- Tính chất 7: Không tồn tại khối đa diện có 7 cạnh.

3.2 Các công thức tính thể tích khối đa diện

a. Công thức tính thể tích hình chóp

- Thể tích khối chóp:

$\large v=\frac{1}{3}S_{d}.h$

Trong đó: S_d là diện tích mặt đáy

h: Chiều cao khối chóp

b. Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật

- Thể tích hình hộp chữ nhật:

V = a x b x c

Trong đó a là chiều dài, b là chiều rộng, c là chiều cao của hình hộp chữ nhật.

c. Công thức tính thể tích khối lăng trụ

- Thể tích khối lăng trụ:

V = S_day. h

Trong đó S_day là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ.

d. Công thức tính tỉ số thể tích

- Công thức:

$\large \frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}$

>> Mời bạn tham khảo: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

4. Đề cương ôn thi học kì 1 toán 12: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

4.1 Mặt nón

- Diện tích xung quanh mặt nón: S_xq = $\large \pi rl$

- Diện tích toàn phần mặt nón: S_tp = $\large \pi rl$ + $\large \pi r^{2}$ = $\large \pi r$ (l+r)

- Thể tích khối nón: $\large V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

4.2 Mặt trụ

- Diện tích xung quanh của mặt trụ: S_xq = Bh = $\large \pi rl$

- Diện tích toàn phần của mặt trụ: S_tp = 2 $\large \pi rl$ + 2 $\large \pi r^{2}$ = 2 $\large \pi r$ (l+r)

- Thể tích khối trụ: V = Bh = $\large \pi r^{2}$ h

4.3 Mặt cầu

- Diện tích mặt cầu: S = $\large 4\pi R^{2}$

- Thể tích mặt cầu: $\large V=\frac{4}{3}\pi R^{2}$

Sổ tay hack điểm thi toán, tổng hợp các công thức, tips học toán được tiết lộ bởi các thầy cô trường chuyên. Đăng ký ngay để nhận ưu đãi 50% từ VUIHOC nhé!

5. Ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán: Luyện tập

Bài 1: Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên ( $\large -\infty$ ; 1)

$\large (1) y=\frac{mx+4}{x+m}$

Lời giải:

TXĐ: D = $\large \mathbb{R}$ \{-m}

$\large (1)\Rightarrow y'=\frac{m^{2}-4}{(x+m)^{2}}$

Ta có y' < 0, $\large \forall x \in (-\infty ;1)$

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}-4< 0& \\ -m\geq 1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2<m<2 & \\ m\leq -1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -2<m\leq -1$

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a. log_0,4(5x + 2) > log_0,4(3x + 6)

Điều kiện: x > -2/5

Ta có: log_0,4(5x + 2) > log_0,4(3x + 6) $\large \Leftrightarrow 5x+2<3x + 6 \Leftrightarrow 2x< 4\Leftrightarrow x<2$

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là S = (-2/5 ; 2)

b. 1 + log₂(x - 2) > log₂(x² - 3x + 2)

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} log_{2}(x^{2}-3x+x)-log_{2}(x-2)<1 & \\ x>2& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} log_{2}(x-1)<1 & \\ x>2& \end{matrix}\right.$

$\large \Leftrightarrow 2<x<3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (2 ; 3)

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Góc giữa đường thẳng A'B' với (ABC) = 60^o. Hãy tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.

Ta có: AA' $\large \perp$ (ABC) $\large \Rightarrow$ AB là hình chiếu của A'B trên (ABC)

$\large \Rightarrow$ $\large \widehat{(A'B, (ABC))}=\widehat{(A'B,AB)}= \widehat{A'BA}=60^{o}$

$\large \Delta$ vuông A'AB có: A'A = AB tan $\large \widehat{A'BA}$ = a.tan60^o = a $\large \sqrt{3}$

$\large S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC =\frac{a^{2}}{2}$

$\large V_{ABC.A'B'C'}=AA'.S_{\Delta ABC}=a\sqrt{3}.\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

Bài 4: Cho khối trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có A, B thuộc mặt đáy của khối trụ. Biết AB = 10cm. Tính khoảng cách từ trục của khối trụ đến thiết diện được tạo thành?

- Gọi O, O' lần lượt là tâm của đường tròn đáy hình trụ, H là hình chiếu của O lên cạnh AB.

- Khoảng cách từ O đến (ABCD):

$\large \left\{\begin{matrix} AD\perp OH(AB\perp (AOB)) & \\ AB\perp OH & \end{matrix}\right.\Rightarrow OH\perp (ABCD)$

=> d (O, (ABCD)) = OH.

Vì $\large \Delta$ OAB cân tại O nên OH cũng là đường trung tuyến

$\large \Rightarrow AH=\frac{1}{2}AB=5cm$

- Độ dài khoảng cách OH: Xét $\large \Delta$ OAH vuông tại H ta có:

$\large OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{6^{2}-5^{2}}=\sqrt{11}cm$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức trọng tâm ôn thi học kì 1 lớp 12 môn toán mà vuihoc đã tổng hợp dựa trên các bài học trong chương trình toán 12. Để làm tốt bài thi giữa kì, các em cần ghi nhớ và nắm chắc lý thuyết. Chúc các em hoàn thành tốt bài thi giữa kì 1 môn toán và đừng quên truy cập trang web vuihoc.vn để học thêm nhiều kiến thức hữu ích khác.

>> Mời bạn xem thêm: