Cách Học Hình Học Không Gian Tốt - Toán 12

1. Hình học không gian là gì?

Hình học không gian được biết là thuộc nhánh thuộc hình học nghiên cứu các đối tượng trong không gian ba chiều Euclid. 

Bên cạnh đó, hình học khối tích (Stereometry) nghiên cứu các phép tính về thể tích của nhiều khối đặc khác nhau (các khối trong không gian 3 chiều) như: thể tích khối lăng trụ, khối chóp, hình cụt, các khối giới hạn bởi mặt cầu, các đa diện, hình trụ tròn, hình nón.

Các chủ đề chính trong hình học không gian gồm có: góc khối, hình lập phương, hình hộp chữ nhật, tứ diện và các loại hình chóp, hình lăng trụ, mặt cầu, quan hệ giữa mặt phẳng và đường thẳng,...

2. Các dạng hình học không gian thường gặp

Hình học không gian được mô phỏng trong không gian ba chiều, tạo thành khối trụ (được cấu tạo từ nhiều mặt phẳng) thay vì một mặt phẳng. 

Các bài toán về hình học không gian thường gặp là: tính diện tính toàn phần, diện tích xung quanh hay thể tích. 

Dạng 1: Hình hộp chữ nhật

Có sáu mặt đều là hình chữ nhật

Dạng 2: Hình lập phương 

Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.

Dạng 3: Hình lăng trụ 

Hình có hai đáy là hình tam giác, các mặt còn lại là hình bình hành.

Dạng 4: Hình khối chóp

Hình khối chóp được tạo ra bằng cách kết nối một điểm của một đa giác và một điểm. Các tam giác được tạo ra được gọi là cạnh bên. 
 

Dạng 5: Hình cầu

Là phần nằm trong một bề mặt gồm các điểm trong không gian nằm cách tâm một khoảng cách không đổi.

Dạng 6: Hình trụ

Được vẽ thành bởi hai đáy là hai hình tròn bằng nhau. Khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định thì chúng ta sẽ được một hình trụ.

Dạng 7: Hình nón

Là hình được hình thành bởi một tam giác vuông quay quanh trục của nó.

3. Cách học tốt và giải bài tập hình học không gian nhanh nhất

3.1. Nắm vững lý thuyết hình học không gian

3.2. Làm nhiều bài tập

Khi luyện đề, các em học sinh cần lưu ý những điều sau: 

• Đọc kĩ đề bài

Nên chú ý các ý trong đề bài vì bỏ sót ý sẽ dần đến không hoàn thành câu hỏi.

Khi bài cho dữ liệu “Cho hình chóp đều cạnh a”. Trong đầu chúng ta cần phải nghĩ ngay đến các kiến thức liên quan như:  “chân đường cao trùng với đáy”; “các cạnh bằng nhau”, “ các mặt bên bằng nhau”,…

Nếu trong bài có cho “mặt bên là tam giác cân”, lúc này học sinh cần sử dụng kiến thức về hình học phẳng để vận dụng. Một tam giác cân thì sẽ có đường cao đồng thời là trung tuyến,…

Cách tốt nhất khi đọc đề, học sinh hãy liệt kê ra tất cả thông tin đề đã cho và yêu cầu của đề. Từ yêu cầu của bài các em sẽ suy ngược lại những kiến thức cần sử dụng.

• Luyện sự sáng tạo khi học hình không gian

Luyện sự sáng tạo chính là cách để học tốt hình học không gian. Trong nhiều bài các em sẽ cần phải kẻ thêm hình mà trong bài không hề cho trước.

Khi kẻ thêm đường thẳng, thêm mặt phẳng thì việc giải bài sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuy nhiên điều này cần sự sáng tạo từ các em.

Để có được sự sáng tạo này các em cần làm nhiều dạng bài, tham khảo các cách giải khác nhau. Từ đó các em có thể hình thành nên thói quen tập tư duy vẽ thêm hình khi làm bài tập. Kết hợp các dạng bài với nhau để có được nhiều cách thức giải bài nhanh và hay hơn.

• Luyện cách nhìn hình 

Học sinh cần luyện tập cách nhìn hình để giải nhanh bài tập.

Luyện cách nhìn hình là một trong những bước cơ bản đầu tiên để có thể giỏi hình học không gian.

Chỉ khi bạn có thể nhìn rõ các mặt phẳng, đường thẳng thì mới có thể áp dụng định lý, hệ quả để suy ra cách giải.

Ở bước này các em cần chú ý đến sự liên tưởng của mình. Hãy liên tưởng đến ngôi nhà với các góc, bức tường,… giống như các góc, các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Trong hình học quan trọng là sự hình dung, tưởng tượng. Nếu đã thành thục bước này thì các em đã rất tiến bộ và ở phần học vẽ hình tiếp theo sẽ không hề khó.

3.3. Biết cách vẽ hình học không gian

• Hiểu rằng vẽ sai hình sẽ không được tính điểm khi làm bài hình học không gian.

• Hiểu quy tắc: vẽ nét đứt khi bị khuất, vẽ nét liền khi nhìn thấy. Nên vẽ hình bằng bút chì, bởi vì nét đứt, nét liền có thể thay đổi trong quá trình làm bài.

• Các bước cần làm theo khi vẽ hình: 

  • Nên đọc kĩ đề trước khi vẽ hình để không bị nhầm, lựa chọn cách vẽ sao cho phù hợp

  • Nên vẽ mặt phẳng đầu tiên theo dạng hình bình hành. Những đường thẳng trong mặt phẳng cắt ngang nên chếch về trái hoặc phải. Nên cắt về phía trước, hạn chế cắt về phía sau. 

  • Những phần bị lấp trong hình: đường thẳng, mặt phẳng vẽ bằng nét đứt, dùng nét liền khi phần hình không bị che.

  • Khi vẽ hình chóp: Mặt đáy: vẽ dẹt, mỏngt, mặt đáy được vẽ quá lớn sẽ khiến nhìn không thật, khó nhìn.

  • Nên vẽ với nhiều góc nhìn khác nhau, thay đổi đỉnh, mặt phẳng đáy, mặt phẳng bên,… Nếu chỉ vẽ 1 hình mà khó nhìn thì sẽ không nhìn ra.

  •  Các chi tiết nên được thể hiện rõ ở mặt đáy, hạn chế vẽ vào mặt khuất sẽ khiến các em khó hình dung được bài.

3.4. Biết các cách giải bài tập toán hình học không gian nhanh

Bài toán 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng

• Điểm chung thứ nhất thường dễ nhận biết.

• Điểm chung thứ hai: Giao của hai đường còn lại.

Ví dụ 1:

Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).

c) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC)

Giải:

Bài toán 2: Tìm giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng

• Tìm giao điểm của của dường thẳng a với một đường thẳng khácb, trong mặt phẳng (P).

• Nếu không tìm được đường thẳng đó.

• Tìm một mặt phẳng khác (Q) chứa đường thẳng đề bài cho (P).

• Tìm giao tuyến b của mặt phẳng đó với mặt phẳng đã cho (P).

• A là giao của a và b thì A sẽ là giao của a và (P).

Ví dụ:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD).

Giải:

Ta có G là trọng tâm tam giác BCD; F là trung điểm của CD nên G ∈ BF ⊂ (ABF)

+ E là trung điểm của A B E ∈ (ABF).

+ Chọn mp phụ chứa EG là (ABF).

Giao tuyến của (ACD) và (ABF) là AF

Trong mp(ABF); gọi M là giao điểm của EG và AF.

Giao điểm của EG và mp(ACD) là giao điểm M của EG và AF

Bài toán 3: Chứng mình ba điểm thẳng hàng

Ta cần chứng mình các điểm ấy thuộc hai mặt phẳng riêng biệt.

Ví dụ: 

Cho tứ diện SABC. Gọi L; M; N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA; SB và AC sao cho LM không song song với AB và LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB; BC và SC lần lượt tại K; I; J. Chứng minh 3 điểm M, I, J thẳng hàng?

Giải

Ta có

M ∈ SB ⇒ M isin; (LMN) ∩ (SBC)  (1)

I ∈ BC ⊂ (SBC) và I ∈ NK ⊂ (LMN)

⇒ I ∈ (LMN) ∩ (SBC) (2)

J ∈ SC ⊂ (SBC) và J ∈ LN ⊂ (LMN)

⇒ J ∈ (LMN) ∩ (SBC) (3)

⇒ M ; I; J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến mp (LMN) và (SBC)

Bài toán 4: Dựng thiết diện của một mặt phẳng (P) và khối đa diện (T)

• Đi tìm giao tuyến của (P) và (T).

• Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này, tương tự, tìm được các giao tuyến còn lại. Nối thành đường khép kín sẽ có thiết diện ta cần tìm.

Ví dụ:

Cho tứ diện ABCD; gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là?

Giải:

Mặt phẳng (BCD) có KM không song song với CD nên gọi L là giao điểm của KM và BD.

Ta có: (HKM) ∩ (ABC) = HK

(HKM) ∩ (BCD) = KL

(HKM) ∩ (ABD) = HL

Vậy thiết diện là tam giác HKL.

Bài toán 5: Chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định có sẵn

• Chứng mình đường thẳng đó: a là giao của hai mặt phẳng (P) và (Q).

• Một mặt phẳng đi qua một đường thẳng b cố định.

• Khi đó a đi qua I cố định là giao của (P) và b. 

Ví dụ:

Giải

Bài toán 6: Chứng mình đường thẳng:a song song mặt phẳng: (Q)

• Tìm mp (Q) chứa a

• Tìm b là giao của (P) và (Q)

• Khi đó chứng mình a//b

Ví dụ:

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD; Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB; gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh GQ // mp(BCD).

Giải:

Gọi M là trung điểm của BD

Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên AG/AM = 2/3    (1)

Điểm Q thuộc AB thỏa mãn: AQ = 2QB nên AQ/AB = 2/3    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AG/AM = AQ/AB

⇒ GQ // BD (định lí Ta-let đảo)

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ // mp(BCD)

Để hiểu hơn về hình học không gian cũng như thành thạo các bài tập giải hình không gian, thầy Tài đã có bài giảng "hack điểm" hình không gian cực hay. Các bạn học sinh cùng xem và học cùng thầy trong video này nhé!

Như vậy, trong bài viết này VUIHOC đã chia sẻ về khái niệm hình học không gian cũng như các dạng toán thường gặp, hơn hết là những cách giải toán dễ hiểu nhất. Hy vọng các em sẽ có thêm những bí quyết và nâng cao kiến thức của mình trong kỳ thi THPTQG sắp tới nhé. Để luyện tập thêm các dạng toán, các em truy cập vào vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay bây giờ nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Xem thêm:

• Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian và bài tập
• Lý Thuyết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian Và Bài Tập Có Cách Giải
• Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
• Tổng hợp công thức toán hình 12 đầy đủ dễ nhớ nhất
• Công thức tính thể tích khối cầu nhanh và chính xác nhất
• Khối tròn xoay là gì? Công thức tính thể tích khối tròn xoay chính xác nhất