Trọn bộ lý thuyết về phương trình đường tròn lớp 10 - VUIHOC Toán

1. Lý thuyết về phương trình đường tròn

1.1. Phương trình đường tròn

Dưới đây VUIHOC sẽ tổng hợp kiến thức liên quan đến phương trình đường tròn lớp 10!

Ở mặt phẳng tọa độ Oxy có đường tròn kí hiệu là (C) với tâm kí là I(a; b) (thường kí hiệu là I(a; b)) và bán kính R có thể lập được phương trình:$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$

Chú ý rằng phương trình đường tròn với tâm chính là gốc tọa độ O và bán kính R được tính bằng x2 + y2 = R2

+) Phương trình của đường tròn: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ có thể viết được dưới dạng $x^2+y^2–2ax–2by+c=0$, trong đó $c=a^2+b^2–R^2$.

+) Phương trình $x^2+y^2–2ax–2by+c=0$ chính là phương trình của đường tròn (C) khi $a^2+b^2–c^2>0$. Lúc này, đường tròn (C) với tâm I(a; b), bán kính $R=a^2+b^2–c^2$

1.2. Phương trình tiếp tuyến đường tròn

(phần này em nói sơ qua, sau đó thêm 1 dòng: "Xem thêm bài viết về Phương trình tiếp tuyến đường tròn để hiểu kỹ hơn về phần này nhé!)

Trong đường tròn (C) tâm I với tọa độ (a;b), cho trước điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tiếp tuyến tại M0 của đường tròn (C) có phương trình: 

(x0 – a).(x – x0) + (y0 – b).(y – y0) = 0.

>>> Xem thêm bài viết về Phương trình tiếp tuyến đường tròn để hiểu kỹ hơn về phần này nhé!

Các em học sinh có thể tham khảo bộ tài liệu ôn trọn kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2. Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến phương trình đường tròn

Dưới đây là một số dạng bài tập về phương trình đường tròn mà VUIHOC muốn giới thiệu đến các em.

2.1. Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm điều kiện để 1 phương trình là phương trình đường tròn

=> Phương pháp giải dạng bài này:

Cách 1: Đưa phương trình trên đề bài về dạng như sau: $(x-a)^2+(y-b)^2=P$ (1)

• Với $P>0$ thì (1) phương trình đường tròn có tâm $I(a;b)$ cùng bán kính R=P

• Nếu $P\leq 0$ thì (1) đó không là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình đề bài về dạng như sau: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (2) 

với $P=a^2+b^2 -c$

• Với $P>0$ thì (2) chính là phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính $R= \sqrt{a^2+b^2-c}$

• Nếu $P\leq 0$ thì (2) thì đó không là phương trình đường tròn

Ví dụ 1: Phương trình: $x^2+y^2-2x-4y+9=0$ có phải là một phương trình đường tròn hay không? Nếu đúng thì hãy xác định tâm và bán kính.

Lời giải: 

Ta có phương trình: $x^2+y^2-2x-4y+9=0$

Từ đề bài trên ta được: $a=-1$; $b=2$; $c=9$ nên:

$a^2+b^2-c=(-1)^2+2^2-9=-4<0$

Vậy phương trình $x^2+y^2-2x-4y+9=0$ không là phương trình đường tròn

Ví dụ 2: Phương trình: $x^2+y^2-6x+4y+13=0$ có phải là một phương trình đường tròn không? Nếu đúng hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

Lời giải: 

Với phương trình của đề bài: $x^2+y^2-6x+4y+13=0 $

Từ đề bài đã cho ta được: $a=-3$; $b=2$; $c=13$ nên:

$a^2+b^2-c=(-3)^2+2^2-13=-4<0$

Vậy phương trình đã cho không là phương trình đường tròn

2.2. Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

=> Phương pháp: 

Cách 1:

Xác định tọa độ của tâm I (a;b) của đường tròn (C)

Xác định bán kính R của đường tròn (C)

Viết phương trình của đường tròn (C) dưới dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Cách 2: Giả sử $x^2+y^2–2ax–2by+c=0$ chính là dạng tổng quát của phương trình đường tròn kí hiệu (C)

• Từ điều kiện của bài toán, thiết lập được hệ phương trình gồm 3 ẩn a, b, c

• Giải hệ phương trình ba ẩn a, b, c rồi vào phương trình đường tròn (C)

* Lưu ý: Với hai điểm A và B, nếu đường tròn (C) đi qua 2 điểm này thì $IA^2 = IB^2 = R^2$. Trường hợp này thường được áp dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC (hay nói cách khác là viết phương trình đường tròn khi đi qua cả 3 điểm A, B, C)

Ví dụ 1: Hãy lập phương trình của đường tròn (C) với tâm là I(1;-3) và nó đi qua điểm O(0;0)

Lời giải:

Ta có: Đường tròn (C) với tâm I là (1;-3) và nó chạy qua gốc tọa độ O(0;0). Vì thế  R = OI mà

Vậy phương trình của đường tròn © được biểu diễn như sau: $(x -1)^2 + (y + 3)^2 = 10$

Ví dụ 2: Hãy viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I(2; -4) và chạy qua điểm O(0;0)

Lời giải:

Ta có: Đường tròn (C) với tâm I là (2; -4) và chạy qua gốc tọa độ O(0;0). Vì vậy R = OI

mà $\left | \vec{OH} \right |= \sqrt{2^2+(-4)^2} = \sqrt{20}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: $(x - 2)^2+(y + 4)^2=20$

2.3. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải: Áp dựng tính chất tiếp tuyến

- Khi đường tròn (C) tiếp xúc với 1 đường thẳng ($\Delta $) thì $d(I, \Delta ) = \mathbb{R}$

- Khi đường tròn (C) tiếp xúc với 1 đường thẳng ($\Delta $) tại điểm A thì $d(I, \Delta ) = IA =\mathbb{R}$

- Khi đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (1) và (2) thì $d(I, 1) = R = d(I, 2) =\mathbb{R}$

Ví dụ 1: Hãy viết phương trình đường tròn (C) với tâm I là (2;5) và tiếp xúc với trục hoành Ox

Lời giải:

Ta có phương trình đường thẳng của Ox là y = 0

Khoảng cách từ I đến Ox chính là bán kính R của đường tròn đó: 

Vậy phương trình của đường tròn (C) được biểu diễn dưới dạng là: $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) với tâm I là (3;4) và nó tiếp xúc với trục hoành Ox

Lời giải:

Phương trình của Ox là y = 0

Khoảng cách từ I đến Ox chính là bán kính $\mathbb{R}$ của đường tròn đó:

$R=d(I,Ox)=\frac{\left | 4 \right |}{\sqrt{1}}=4$

Vậy phương trình đường tròn (C) biểu diễn dưới dạng là: $(x - 3)^2+(y - 4)^2=16$

2.4. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Phương pháp giải:

Cách 1:

• Xác định diện tích S cùng với nửa chu vi P của tam giác nhằm tính được bán kính đường tròn:  $r=\frac{S}{P}$

• Với tâm đường tròn nội tiếp kí hiệu là I(a; b) thì khoảng cách tính từ điểm I tới 3 cạnh của tam giác sẽ bằng nhau (= r), từ đó có thể lập được thành hệ phương trình với 2 ẩn a và b.

• Từ đây có thể giải hệ phương trình và tìm được giá trị của a, b cùng với phương trình đường tròn.

Cách 2:

• Viết phương trình của đường phân giác trong thuộc hai góc trong tam giác

• Tìm giao điểm giữa hai đường phân giác đó thì ta sẽ được tâm I của đường tròn

• Tính khoảng cách tính từ tâm I tới một cạnh bất kỳ trong tam giác ta thu được độ dài của bán kính $\mathbb{R}$

Ví dụ 1: Hãy cho biết phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB khi biết điểm A (4; 0) và B (0; 3)

Lời giải:

– Ta có:  $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.4.3=6$

– Nửa chu vi: $P=\frac{OA+OB+AB}{2}=\frac{4+3+2}{2}=6$

⇒  $r=\frac{S}{P}=\frac{6}{6}=1$

– Do đường tròn tiếp xúc với cả 2 trục toạ độ nên tâm Ir = (r; r)=(1; 1)

⇒ Pt đường tròn được biểu diễn dưới dạng là: $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 1$

Ví dụ 2: Hãy xác định phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tạo bởi 3 đường thẳng:

$(a_1):4x–3y–65=0$

$(a_2):7x–24y+55=0$

$(a_3):3x+4y-5=0$

Lời giải:

– Cho ABC là tam giác thoả mãn điều kiện đề bài với các cạnh là:

AB: 4x – 3y – 65 = 0

BC: 7x – 24y + 55 = 0

CA: 3x + 4y – 5 = 0

– Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

– Ta có VTPT: ,

– Do tam giác vuông tại A nên

– Ta có độ dài các cạnh lần lượt: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

– Diện tích tam giác ABC: SABC = 150

– Nửa chu vi là:  $P=\frac{20+25+15}{2}=30$

– Bán kính của đường tròn nội tiếp là: $r=\frac{S}{P}=\frac{150}{30}=5$ 

– Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp là I(a; b) thì khoảng cách tính từ điểm I tới các đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta được: 

– Giải hệ trên thu được: a = 10 và b = 0;

⇒ Phương trình đường tròn của đề bài là: $(x-10)^2+y^2=25$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

3. Bài tập luyện tập về phương trình đường tròn

Câu 1: Cho $4x^2 + 4y^2 - 4x + 8y - 59 = 0$ là phương trình của một đường tròn. Hãy xác định toạ độ của tâm cùng bán kính của đường tròn đó.

Lời giải: 

Giả sử tâm của đường tròn đã cho là I (a; b) cùng bán kính R thì ta có: 

$4x^2 + 4y^2 - 4x + 8y - 59 = 0$

⇔ $x^2 + ^y2 - x + 2y - \frac{59}{4} = 0$

⇔ $x^2 - x + 14 + y^2 + 2y + 1 - 16 = 0$

⇔ $(x - 12)^2 + (y + 1)^2  = 16$

Vậy tâm của đường tròn có toạ độ là I(12; -1) với bán kính R = 4

Câu 2: Cho các phương trình dưới đây, phương trình biểu diễn đường tròn là phương trình nào? Hãy xác định tâm và bán kính nếu đó là đường tròn.

a) $x^2+y^2+2x-4y+9=0$

b) $2x^2+2y^2-8x-4y-6=0$

Lời giải: 

a) Ta xét: $a^2 + b^2 -c = -4 < 0$ ⇒ Phương trình $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 9 = 0$ không là phương trình đường tròn 

b) Ta xét: $a^2 + b^2 - c = 8$ ⇒ Phương trình $2x^2 + 2y^2 - 8x - 4y - 6 = 0$ chính là phương trình đường tròn với tâm I(27; -37) cùng với bán kính $R = 2\sqrt{\frac{5}{7}}$

Câu 3: Với đường cong ($C_m$) có phương trình là $x^2+y^2-2mx-4(m-2)y+6-m=0$ (1)

a) Tìm điều kiện m để phương trình trên là phương trình đường tròn

b) Giả sử (1) là phương trình đường tròn thì hãy xác định toạ độ tâm cùng bán kính theo m

Lời giải:

a) Nếu phương trình (1) là phương trình đường tròn thì nó phải thoả mãn: $a^2 + b^2 - c > 0$ ⇔ $m^2 - 3m + 2 > 0$ ⇔

b) Với điều kiện của m ở trên thì ta có thể rút ra tâm đường tròn $I (m; 2(m - 2))$ cùng bán kính: $R = \sqrt{m^2-3m+2}$

Câu 4: Hãy xác định phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp dưới đây: 

a) Có tâm I(1; -5) và chạy qua điểm O(0; 0)

b) Có đường kính AB: A (1; 1) và B (7; 5)

Lời giải:

a) Độ dài của bán kính OI là: $OI =sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$

Vậy phương trình đường tròn được biểu diễn như sau: $(x - 1)^2+ (y + 5)^2 = 26$

b) Đường tròn phải tìm có tâm I chính là trung điểm của đoạn AB ⇒ $I (4; 3) $

Độ dài bán kính là: $\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 =13$

Câu 5: Hãy viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I(-1;2), đồng thời nó tiếp xúc với đường thẳng ($\Delta $): $x+2y-8=0$

Lời giải: Ta có đường tròn (C) với tâm I có toạ độ là I (-1; 2) đồng thời tiếp xúc với đường thẳng () : x + 2y - 8 = 0 thì R chính là khoảng cách giữa điểm I với đường thẳng ($\Delta $).

Ta có: $R=d(I, \Delta )=\frac{\left | -1+4-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Vậy phương trình của đường tròn (C) được biểu diễn như sau: $(x+1)^2+(y-2)^2=5$

Câu 6: Với 2 đường thẳng: $q_1:3x+4y+5=0$ và $q_2:4x-3y-5=0$. Hãy xác định phương trình của đường tròn với tâm nằm ở đường thẳng $a:x-6y-10=0$ và nó đồng thời cũng tiếp xúc với 2 đường thẳng $q_1$, $q_2$.

Lời giải: 

Đường tròn phải tìm có toạ độ tâm I ở trên đường thẳng a ⇒ Toạ độ của tâm I có dạng là (6a + 10; a)

Do đường tròn còn tiếp xúc với $q_1$, $q_2$ nên khoảng cách từ tâm I đến 2 đường thẳng trên là bằng nhau và chính bằng bán kính R

+) Với a = 0 ⇒ I (10; 0) cùng với R = 7 ⇒ phương trình đường thẳng được biểu diễn như sau:(x - 10)2 + y2 = 49

+) Với $a=\frac{-70}{33}$ ⇒ $I(\frac{-30}{11}; \frac{-70}{33})$ với $R=\frac{97}{33}$

⇒ Phương trình của đường tròn là: 

$(x+\frac{30}{11})^2+(y+\frac{70}{33})^2=(\frac{97}{33})^2$

Câu 7: Cho toạ độ 2 điểm A (8; 0) và B (0; 6). Hãy tìm phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác OAB. 

Lời giải:

Diện tích của tam giác OAB là: $S=12.8.6=24$

Với cạnh huyền $AB=10$

Ta có nửa chu vi tam giác là $p=12$ ⇒ $r=S_p=2$

Do đường tròn này tiếp xúc với cả 2 trục toạ độ nên có tâm là J (r; r) = (2; 2)

Vậy phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác OAB được biểu diễn như sau: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$

Câu 8: Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y - 1 = 0 và đường tròn © có phương trình là $x^2+y^2=3^2$

Lời giải:

Cho phương trình đường tròn $x^2+y^2=3^2$ với: Tâm I(0;0) và bán kính R = 32 = 42

Xét với phương trình đường thẳng d’: 3x + 5y - 1 = 0

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d’ là: 

d (I, d’) =

Vậy đường thẳng d’ sẽ cắt đường tròn © tại 2 điểm phân biệt 

Câu 9: Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn © tại điểm M (3; 4) biết phương trình của đường tròn là $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$

Lời giải:

Phương trình đường tròn © có toạ độ tâm I (1; 2) cùng bán kính R = 8 

Vậy ta có thể viết được phương trình tiếp tuyến với đường tròn © tại điểm M (3; 4) là:

$(3 -1)(x - 3) + (4 - 2)(y - 4) = 0$

⇔ $3x - 9 - x + 3 + 4y - 16 - 2y + 8 = 0$

⇔ $3x - 9 - x + 3 + 4y - 16 - 2y + 8 = 0$

⇔ $2x + 2y - 14 =0$

⇔ $x + y - 7 = 0$

Câu 10: Xác định phương trình của đường tròn © với điều kiện © đi qua 3 điểm A (1; 2), B (5; 2) và C (1; -3) 

Lời giải:

Giả sử phương trình đường tròn © biểu diễn dưới dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (1)

Do A, B và C cùng © nên khi thay toạ độ của 3 điểm vào phương trình (1) ta được hệ phương trình: 

Vậy phương trình © được biểu diễn dưới dạng: $x^2+y^2-6x+y-1=0 $

⇔ $(x - 3)^2 + (y + 12)^2 = 414$

Phương trình đường tròn là một trong những phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 10 nói riêng và toán THPT nói chung. Bởi vậy, VUIHOC đã viết bài viết này nhằm củng cố lý thuyết cùng với các dạng bài tập rất hay về phương trình đường thẳng nhằm giúp các em nắm bắt kiến thức và học tập dễ dàng hơn. Để học thêm được nhiều các kiến thức hay và thú vị về Toán học 10 cũng như Hoá học THPT thì các em hãy truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô VUIHOC ngay bây giờ nhé!