Số phức nghịch đảo là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng

1. Số phức nghịch đảo là gì?

Trước khi tìm hiểu về số phức nghịch đảo, chúng ta hãy cùng ôn lại khái niệm số phức. 

• Số phức là biểu thức có dạng $z=a+bi$, trong đó $a,b$ là các số nguyên; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo. Quy ước: $i^{2}=-1$.

• Số phức nghịch đảo, hay còn được gọi là nghịch đảo của số phức, ký hiệu z^-1 là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo và số phức có kết quả bằng 1: $z^{-1}.z=1$ 

2. Lý thuyết số phức nghịch đảo

Chúng ta hoàn toàn có thể chứng minh được: 

$z^{-1}=\frac{1}{\left | z \right | ^{2}} . \bar{z} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)$

Suy ra: $z^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)(a+bi)=\frac{a^{2}-b^{2}i^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1$

• Số phức nghịch đảo của $z=a+bi$ là $z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}$

• Số nghịch đảo của $z=a+bi (z\neq 0)$ là $z^{-1} = \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}$

3. Một số bài tập tìm số phức nghịch đảo và lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức sau: z=3+4i?

Lời giải: 

Số phức nghịch đảo của $z=3+4i$ là:

$z^{-1}=\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{3^{2}-(4i)^{2}}=\frac{3-4i}{9+16}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$

Vậy số phức nghịch đảo của số phức $z=3+4i$ là $z^{-1}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$

Bài 2: Số phức nghịch đảo của $z=2-2i$ là:

1. $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

2. $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

3. $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

4. $-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

Lời giải: $z=2-2i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{2-2i}=\frac{1+i}{2(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2(1-i^{2})}=\frac{1+i}{2.2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

Đáp án cần chọn: C. $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

Bài 3: Hãy tìm số nghịch đảo của số phức $z=10+8i$? 

Lời giải: 

$z=10+8i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{10+8i}=\frac{10-8i}{(10-8i)(10+8i)}=\frac{10-8i}{10^{2}+8^{2}}=\frac{10-8i}{164}$

$\Rightarrow z^{-1} = \frac{5}{82} - \frac{2}{41}i$

Vậy số phức nghịch đảo của $z=10+8i$ là $z^{-1}=\frac{5}{82}-\frac{2}{41}i$

Bài 4: Đáp án nào dưới đây là số phức nghịch đảo của $z=1+3i$:

1. $\frac{1}{10}(1-3i)$

2. $1-3i$

3. $\frac{1}{\sqrt{10}}(1+3i)$

4. $\frac{1}{10}(1+3i)$

Lời giải:

$z=1+3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{1+3i}=\frac{1-3i}{1^{2}-(3i)^{2}}=\frac{1-3i}{10}=\frac{1}{10}(1-3i)$

Đáp án cần chọn: A.  $\frac{1}{10}(1-3i)$

Bài 5: Số phức nghịch đảo của số phức $z=\sqrt{2}-3i$ là đáp án nào dưới đây:

1. $\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$

2. $\frac{\sqrt{2}}{11}-\frac{3}{11}i$

3. $\frac{3}{11}+\frac{\sqrt{2}}{11}i$

4. $\frac{3}{11}-\frac{\sqrt{2}}{11}i$

Lời giải: 

$z=\sqrt{2}-3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{2-9i^{2}}=\frac{\sqrt{2}+3i}{11}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$

Đáp án cần chọn: A. $\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$ 

4. Hướng dẫn cách giải số phức nghịch đảo bằng máy tính cầm tay Casio

Để tiết kiệm thời gian làm bài, chúng ta có thể giải các bài toán liên quan đến số nghịch đảo của số phức bằng cách sử dụng máy tính cầm tay Casio:

Ví dụ: Tìm số nghịch đảo của số phức sau:  

a, $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$

b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}$

c, $5+i\sqrt{3}$

d, $i$

e, $1+2i$

Hướng dẫn:

Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo các bước sau:

Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức

Bước 2: Nhập  $(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}$ hoặc $\frac{1}{(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}}$, bấm phím = ta được kết quả $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

Bước 3: Ghi kết quả nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$ là $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

b, Thực hiện tương tự ta được kết quả: Số phức nghịch đảo của $\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}$ là $\frac{7-2\sqrt{3}}{4}+\frac{2+7\sqrt{3}}{4}i.$

c, Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo các bước sau:

Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức

Bước 2: Nhập $5+i\sqrt{3}$ hoặc $\frac{1}{5+i\sqrt{3}}$, bấm phím "=" ta được kết quả:

$\frac{5}{28}-\frac{3}{28}i$

Bước 3: Ghi kết quả nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của $5+i\sqrt{3}$ là $\frac{5}{28}-\frac{3}{28}i$

d. Thực hiện tương tự ta được kết quả: Số phức nghịch đảo của $i$ là $-i.$

e. Thực hiện tương tự ta được kết quả: Số phức nghịch đảo của $1+2i$ là $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$

Để hiểu nhiều hơn về các dạng bài tập số phức đặc biệt là số phức nghịch đảo, các em đừng bỏ qua bài giảng vô cùng hấp dẫn và thú vị sau đây của thầy Thành Đức Trung. Chắc chắn trong bài giảng sẽ có những tips giải bài số phức, phương pháp bấm máy số phức cực hay và bổ ích đó!

Trên đây là tổng hợp khái niệm, định lý số phức nghịch đảo cùng các bài tập và hướng dẫn giải chi tiết. Hy vọng các em đã có được nguồn tham khảo bổ ích và có thể áp dụng để làm các bài kiểm tra. Hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để học thêm nhiều dạng bài tập và ôn thi THPT Quốc Gia nhé!