Tích Phân Hàm Ẩn: Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

1. Tích phân hàm ẩn là gì?

Trong chương trình toán 12, các bạn học sinh sẽ được làm quen với dạng bài về tích phân hàm ẩn. Vậy chúng ta hiểu tích phân hàm ẩn là gì? Hãy cùng đi tìm hiểu về khái niệm của bài toán này nhé. 

Tích phân hàm ẩn chính là dạng tích phân mà hàm số sẽ bị ẩn đi. Hàm số đó sẽ không được biểu diễn dưới dạng là một công thức. Tích phân hàm ẩn được suy ra từ tính chất nguyên hàm của hàm số: 

$\int f'(x)dx - f(x) + C$

Trong công thức trên, chúng ta chưa biết hệ số tự do C, sẽ biết f'(x) (hàm số bị ẩn ở trong f'(x)) nhưng sẽ biết một vài giá trị của f(x). Bài toán yêu cầu ta tính một vài giá trị khác nào đó của f(x).

Để làm được dạng toán tích phân hàm ẩn, ta có thể sử dụng hai cách như sau:

• Nếu hàm số đã cho có tích phân trên đoạn [a;b] thì ta sử dụng công thức tích phân để tính giá trị. 

• Sử dụng các tính chất và định nghĩa của nguyên hàm để xác định f(x) + C. Sau đó để xác định hệ số tự do C, ta sử dụng các giá trị đã biết của f(x). Tiếp theo ta sẽ tính các giá trị cần tìm. 

2. Các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản và ví dụ

Dưới đây là một số dạng tích phân hàm ẩn thường gặp trong quá trình làm bài tập đi kèm với các ví dụ vận dụng. 

2.1. Dạng 1: Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $(0, +\propto)$ liên tục. Điều kiện thỏa mãn $f(1) = 3, x(4-f’(x)) = f(x)-1 \forall x > 0$. Tính f(2).

Giải:

Từ giả thiết chúng ta có $x(4 - f’(x)) = f(x) - 1 \Rightarrow xf’(x) + f(x) = 4x + 1$

Lại có $f(1) = 3 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = 2x + 1 \Rightarrow f(2) = 5$

Ví dụ 2: Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $(-1, +\propto)$. Hàm số thỏa mãn $2f(x) + (x^{2} - 1)f'(x) = \frac{x^{3} + 2x^{2} + x}{\sqrt{x^{3}+3}} \forall x \epsilon (-1, +\propto)$. Tính f(0).

Giải: 

Lại có (*) thỏa mãn $\forall x \epsilon (-1,+\propto)$ nên thay x = 1 vào (*) ta có C = 2

$\Rightarrow \frac{x-1}{x+1}, f(x) = \sqrt{x^{2} + 3} - 2$. Do đó $f(0) = 2 - \sqrt{3}$

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và hướng dẫn phương pháp giải mọi dạng bài tập xuất hiện trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2.2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số

Ví dụ 1: Tính $\int_{0}^{2} f(2x)dx$. Biết $\int_{0}^{4} f(x)dx = 16$

Giải:

Xét tích phân $\int_{0}^{2} f(2x)dx$. Đặt $2x = t \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt$. Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 2 thì t = 4

Do đó:

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên R, thỏa mãn điều kiện $\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 6$ và $\int{0}{\frac{\pi}{2}} f(sinx)cosx dx = 3$. Hãy tìm tích phân $\int_{0}^{4}f(x)dx$

Giải: 

Xét: $I= \int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 6$, đặt $\sqrt{x} = t \Rightarrow \frac{dx}{2\sqrt{x}} = dt$

Đổi cận: x = 1

$\Rightarrow t = 1, x = 16 \Rightarrow t = 4$ nên $I = 2\int_{1}^{4}f(t)dt = 6 \Rightarrow \int_{1}^{4}f(t)dt - \frac{6}{2} = 3$

$J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)cosxdx = 3$, đặt $sin x = u \Rightarrow cosxdx = du$

Đổi cận:

$x=0 \Rightarrow u = 0, x = \frac{\pi}{2} = 1 \Rightarrow J = \int_{0}^{1}f(u)du = 3$

$I = \int_{0}^{4}f(x)dx = \int_{0}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{4}f(x)dx = 3+ 3 = 6$

>> Tham khảo thêm: Tính tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

2.3. Dạng 3: Phương pháp từng phần

Phương pháp tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà trong giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau: $\int_{a}^{b}$

$u(x) . f′(x)dx$ hoặc $\int_{a}^{b}u'(x) . f(x)dx$

Ví dụ 1: Hàm số f(x) thỏa mãn $\int_{0}^{1}(x+1)f'(x)dx = 10$. Và có $2f(1) - f(0) = 2$. Vậy $I = \int_{0}^{1}f(x)dx$ bằng bao nhiêu?

Giải:

$A = \int_{0}^{1}(x+1)f'(x)dx$. Đặt $u = x + 1 \Rightarrow du = dx, dv = f'(x)$, chọn $v = f(x)$

$A = (x + 1) . f(x)|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}f(x)dx = 2f(1) - f(0) - \int_{0}^{1}f(x)dx = 2 - \int_{0}^{1}f(x)dx = 10 \Rightarrow \int_{0}^{1} f(x)dx = -8$ 

2.4. Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x)+p(x).f(x)=h(x)

Ví dụ 1: Tính giá trị của f(1) biết hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 4 và f(x) + f’(x) = x³, $\forall x \epsilon R$

Giải:

Từ giả thiết chúng ta có: 

$e^{x}f(x) + e^{x}f'(x) = x^{3}e^{x} \Rightarrow [e^{x}f(x)]' = x^{3}e^{x} \Rightarrow e^{x}f(x) = \int x^{3}e^{x}dx$

$\Rightarrow e^{x} f(x) = x^{3} e^{x} - 3\int x^{2} e^{x}dx = x^{3} e^{x} - 3x^{2}e^{x} + 6\int xe^{x}dx = x^{3} e^{x} - 3x^{2} e^{x} +6(x - 1)e^{x} + C$

$f(0) = 4 \Rightarrow C=10 \Rightarrow f(x) = x^{3} -3^{2} + 6x - 6 + \frac{10}{e^{x}} \Rightarrow f(1) = -2 + \frac{10}{e}$

Ví dụ 2:

Tính $A = \int_{0}^{1}f(x)dx$ biết f(x) thỏa mãn 

$f(1) = \frac{9}{e}$ và $f'(x) + 3x^{2}f(x) = (15x^{4} + 12x)e^{-x^{3}}$, với mọi x thuộc R

Giải:

3. Một số bài tập vận dụng tính tích phân hàm ẩn từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải

Bài tập tích phân hàm ẩn có đầy đủ từ dạng cơ bản đến nâng cao, đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm chắc kiến thức để áp dụng vào bài tập. Cùng theo dõi một số bài tập vận dụng về tích phân hàm ẩn cùng lời giải để hiểu bài thật tốt nhé.

Bài 1: Hàm số f(x) thỏa mãn $f(2)=\frac{-2}{9}. f’(x)=2x[f(x)]^{2}, \forall x \epsilon R$. Tính giá trị của f(1).

Giải: 

$f'(x) = 2x[f(x)]^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}} = 2x \Rightarrow \int_{1}^{2} \frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}dx = \int_{1}^{2}2xdx = 3 \Leftrightarrow -\frac{1}{f(x)}\mid _{1}^{2} = 3$

$\Leftrightarrow f(1) = \frac{-2}{3}$

Bài 2: Hàm số f(x) thỏa mãn $f(2)=\frac{-1}{3}. f’(x)=x[f(x)]^{2}, \forall x \epsilon R$. Tính giá trị của f(1)

Giải:

$f'(x) = x[f(x)]^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}} = x \Rightarrow \int_{1}^{2} \frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}dx = \int_{1}^{2}2xdx = \frac{3}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{f(x)}\mid _{1}^{2} = 3 \Leftrightarrow f(1) = \frac{-2}{3}$ 

Bài 3: $\int_{2}^{5}f(x)dx = 10$. Tính $\int_{5}^{2}[2 - 4f(x)]dx$

Giải:

$\int_{5}^{2}[2-4f(x)]dx = 2\int_{5}^{2}dx - 4\int_{5}^{2}f(x)dx = -2x|_{2}^{5} + 4\int_{2}^{5}f(x)dx = -2.(5 - 2) + 4 . 10 = 34$

Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f(x). Biết F(0) = 3 và $\int_{0}^{9}f(x)dx = 9$. Tính F(9)

Giải:

Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R ngoại trừ 0, thỏa mãn $f’(x) = \frac{1}{x^{3} + x^{5}}$. f(-2) = b và f(1) = a. Tính f(-1) + f(2)

Giải:

Có: $f’(-x)=\frac{1}{(-x)^{3}+(-x)^{5}}=\frac{1}{x^{3}+x^{5}}=-f(x)$ nên f'(x) là hàm số lẻ

$\int_{-2}^{2} f'(x)dx = 0 \Leftrightarrow \int_{-2}^{-1}f'(x)dx = -\int_{1}^{2}f'(x)dx$
$f(-1) - f(-2)=-f(2)+f(1)\Rightarrow f(-1) - f(2)=f(-2)+f(1)=a+b$

Bài 6: Cho hàm số $G(x) = \int_{0}^{x}t.cos(x-t)dt$. Tính $G’(\frac{\pi}{2})$

Giải:

Bài 7: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện:

Tính $\int_{0}^{1}f(x - 1)dx$

Giải:

Lấy đạo hàm theo hàm số y

Bài 8: Cho hàm số f(x) xác định trên R ngoại trừ 1. $f’(x) = \frac{1}{x - 1}, f(2) = 2018, f(0) = 2017$. Tính $f(3) - f(-1)$

Giải:

Đặc biệt, thầy Trung đã có bài giảng về tích phân hàm ẩn cực nhanh với tip giải 10s, các em đừng bỏ lỡ video bài giảng của thầy dưới đây nhé!

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn tập kiến thức thi THPT Quốc Gia sớm phù hợp nhất với bản thân

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ các dạng bài tập về tích phân hàm ẩn. Hy vọng rằng sau bài viết các em học sinh sẽ có thể áp dụng công thức để giải các bài tập một cách dễ dàng. Để học và ôn tập kiến thức toán lớp 12 ôn thi đại học, hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

>> XEM THÊM:

• Cách tính tích phân hàm lượng giác chi tiết và bài tập
• Công thức nguyên hàm Inx và cách giải các dạng bài tập
• Công thức và cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit