Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Lượng Giác Và Bài Tập Trắc Nghiệm

1. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác và ví dụ minh họa

Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác được xác định theo từng bước như sau:

Ta chưa thể kết luận được hàm số nghịch biến trên R vì y’=0 tại vô hạn điểm nên ta sẽ chứng minh điều đó bằng định nghĩa. 

$\forall x_{1},x_{2}\epsilon R,x_{1}<x_{2}$, lúc này sẽ luôn có tồn tại (a,b) chứa $x_{1},x_{2}$.

• Tìm tập xác định D.

• Đạo hàm y' = f'(x).

• Tìm nghiệm của f'(x) hay những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

• Lập bảng biến thiên.

• Kết luận hàm đồng biến, nghịch biến (Tính đơn điệu).

Ví dụ 1:  Cho hàm số: y = 2sin⁡x + cos⁡2x, x ∈ [0;π]. Tìm khoảng đồng biến

Giải:

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Ví dụ 2: Cho hàm số: y = f(x) = x - sin⁡x, x ∈ [0;π]. Cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến?

Giải:

Đăng ký ngay để nhận được trọn bộ bí kíp ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 

2. Một số bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số lượng giác (có đáp án)

Bài tập tính đơn điệu của hàm số lượng giác trong chương trình Toán 12 tuy không khó nhưng các bạn học sinh vẫn cần chú ý để tránh bị mất điểm. Dưới đây là một vài bài tập trắc nghiệm ví dụ về tính đơn điệu của hàm số lượng giác kèm lời giải chi tiết. 

Bài 1: Cho hàm số: y = x - sin⁡x, x ∈ [0;π]. Hãy chọn đáp án đúng trong các mệnh đề cho sau.

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (0;π)

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên (0;π)

C. Hàm số f(x) không đổi trên (0;π)

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên $\left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

Giải:

Bài 2: Chọn khẳng định đúng khi cho hàm số y = tan⁡x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( 0;\pi  \right )$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$ và $\left ( \frac{\pi }{2};\pi  \right )$

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$ và $\left ( \frac{\pi }{2};\pi  \right )$

Giải:

Xét hàm số y=tanx trên khoảng $\left ( 0;\pi  \right )$

Có y'=$\frac{1}{cos^{2}x}>0;\forall x\neq \frac{\pi }{2}$

Bài 3:  Cho hàm số y = cot⁡x. Đâu là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left ( -\frac{\pi }{2};0\right )$ và $\left ( 0; \frac{\pi }{2}\right )$

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left ( 0; \frac{\pi }{2}\right )$ và $\left ( \frac{\pi }{2};\pi \right ) $

Giải:

Xét hàm số y=cotx trên khoảng $\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right ) $

Có y'=$-\frac{1}{sin^{2}x}<0;\forall x\neq 0$

Đăng ký ngay nhận bí kíp nắm trọn bộ kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài 

Bài 4: Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định trong các hàm số y =$x^{5}-x^{3}+2x$; y =$x^{3}+1$; y =$-x^{3}-4x-4sinx$?

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Giải:

Bài 5: Cho các hàm số sau:

(I): $-x^{3}+3x^{2}-3x+1$

(II): $y=sinx-2x$

(III): $y=-\sqrt{x^{3}+2}$

(IV): $y=\frac{x-2}{1-x}$

Vậy hàm số nghịch biến trên trục số là?

A. (I), (II).

B. (I), (II) và (III).

C. (I), (II) và (IV).

D. (II), (III).

Giải:

Loại bỏ hàm số (III) và (IV) vì hàm số không xác định trên trục số:

+) Xét hàm số (I): y =$-x^{3}+3x^{2}-3x+1$

Có TXĐ: D = R

y' =$-3x^{2}+6x-3=-3(x-1)2\leq 0;\forall x\epsilon R;y'=0$
$\Leftrightarrow x=1$ ⇒ hàm số nghịch biến trên R

+) Xét (II): y = sin⁡x - 2x

Có TXĐ: D = R

y' = cos⁡x - 2 < 0; ∀ x ∈ R ⇒ hàm số nghịch biến trên R => Chọn A

Bài 6: Kết luận nào sau đây đúng khi cho hàm số y = sin⁡x; x ∈ (0;2π)?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( 0;2\pi  \right )$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left ( 0;2\pi  \right )$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right )$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$ và $\left ( \frac{3\pi }{2};2\pi \right )$

Giải:

Bài 7: Chọn mệnh đề đúng khi cho hàm số y= tanx-x, $x\epsilon (0;\frac{\pi }{2})$.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$

C. Hàm số có 1 cực trị trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$

D. Hàm số luôn âm trong khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$

Giải:

Bài 8: Khoảng đồng biến hàm số y = sin⁡x + cos⁡x; x ∈ (0;2π) là?

A. $(0;\frac{\pi }{4})$ và $(\frac{5\pi }{4};2\pi )$

B. $\left ( \frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4} \right )$

C. $(0;\frac{3\pi }{4})$ và $(\frac{3\pi }{4};2\pi )$

D. $\left ( \frac{\pi }{4};2\pi \right )$

Giải:

Bài 9: Hàm số nào đồng biến trên tập xác định trong các hàm số sau?

A. y=$x-sin^{2}x$

B. y =$cotx$

C. y =$sinx$

D. y =$-x^{3}$

Giải:

Hàm y=$x-sin^{2}x$ có y' = 1 - 2sin⁡x.cos⁡x = 1 - sin⁡2x ≥ 0 và y' = 0 tại các điểm rời nhau nên đồng biến trên tập xác định R.

Hàm y= cot⁡x có $y'=-\frac{1}{sin^{2}x}< 0$ trên tập xác định nên suy ra hàm số không thỏa mãn.

Hàm y= sin⁡x có y' = cos⁡x < 0 trên vài khoảng nằm trong tập xác định nên suy ra không thỏa mãn

Hàm y=$-x^{3}$ có y' =$-3x^{2}\leq 0$ trên tập xác định suy ra không thỏa mãn.

Bài 10:  Để hàm số y = (m + 1)sin⁡x - 3cos⁡x - 5x nghịch biến trên R thì có mấy giá trị nguyên của tham số?

A. Vô số.

B. 10.

C. 8.

D. 9.

Giải:

Ta có y' = (m + 1)cos⁡x + 3sin⁡x - 5

Khi m + 1 = 0 ⇒ m = -1, y' = 3 sin⁡x - 5 < 0, ∀ x ∈ R. Vậy suy ra hàm số luôn nghịch biến trên R.

Khi m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1, hàm số nghịch biến trên R.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số lượng giác và các dạng bài tập liên quan. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh sẽ có thể áp dụng để giải các bài tập một cách dễ dàng. Để học và ôn tập ôn thi THPT QG môn Toán, hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

>>> Xem thêm các bài viết liên quan:

Bảng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác chi tiết nhất

Toán 12 nguyên hàm: lý thuyết và bài tập minh họa

Đồ thị hàm số

Tổng hợp công thức lượng giác