Full bộ bài tập hàm số mũ và logarit có giải chi tiết

Trước khi vào bài viết, các em hãy cùng theo dõi bảng dưới đây để có cái nhìn chung nhất và nhận định độ khó của các bài tập hàm số mũ và logarit trong đề thi THPT Quốc gia:

Để ôn tập nhanh hơn, các em tải file tổng hợp đầy đủ lý thuyết để giải bài tập hàm số mũ và logarit theo link đưới đây để học hằng ngày nhé!

Tải xuống file lý thuyết bài tập hàm số mũ và logarit siêu chi tiết

1. Tổng ôn lý thuyết về hàm số mũ và logarit

1.1. Lý thuyết về hàm số mũ

Đây là phần lý thuyết quan trọng để các em có thể tiến hành làm bài tập hàm số mũ và logarit. Hiểu đơn giản, hàm số mũ nghĩa là hàm số trong đó có chứa biểu thức mũ, mà biến số hoặc biểu thức chứa biến nằm ở phần mũ. Theo kiến thức đã được học, hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

Về tập xác định, Với hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\neq 1)$ thì không có điều kiện. Nghĩa là tập xác định của nó là $\mathbb{R}$.

Vì vậy khi chúng ta gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số $y=a^{u(x)}(a>0,a\neq 1)$ thì ta chỉ viết điều kiện để cho $u(x)$ xác định.

Về đạo hàm của hàm số mũ, ta có công thức như sau:

Định lý 1: Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $(e^x)'=e^x$

Định lý 2: Hàm số $y=a^x(a>0,a\neq 1)$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $(a^x)'=a^x.lna$

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Chúng ta cùng xét hàm số mũ dạng tổng quát $y=a^x$ với $a>0,a\neq 1$ có tính chất sau:

Về đồ thị: 

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Xét hàm số mũ $y= a^x$ (a > 0; a ≠ 1).

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

Khảo sát đồ thị:

   + Đi qua điểm $(0;1)$

   + Nằm phía trên trục hoành.

   + Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Hình dạng đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=(\frac{1}{2})^x$, $y=10^x$ , $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

1.2. Lý thuyết về hàm số logarit 

Vì đều có “xuất thân” từ hàm số, cho nên hàm mũ và hàm logarit có những nét tương đồng nhau trong định nghĩa. Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học và được mô phỏng qua các bài tập hàm số mũ và logarit, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

Về tập xác định:

Xét hàm số $y=log_ax$, ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:

• $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp hàm số $y=log_a[U(x)]$ điều kiện $U(x)>0$. Nếu $a$ chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[U(x)]^n$ điều kiện $U(x)>0$ nếu n lẻ; $U(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn. 

Tổng quát lại: $y=log_au(x)(a>0,a\neq 1)$ thì điều kiện xác định là $u(x)>0$ và $u(x)$ xác định.
 

Về đạo hàm, logarit có các công thức như sau:

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$. Đạo hàm hàm số logarit là:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit:

Xét hàm số logarit $y= log_ax$ (a > 0; a ≠ 1), ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước sau:

• Tập xác định: D = (0; +∞).

• Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

Khảo sát hàm số:

   + Đi qua điểm $(1;0)$

   + Nằm ở bên phải trục tung

   + Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Hình dạng đồ thị:

2. Các dạng bài tập hàm số mũ và logarit cơ bản

Trong quá trình ôn luyện các đề kiểm tra hoặc các kỳ thi, bài tập hàm số mũ và logarit luôn xuất hiện với nhiều dạng khác nhau. Để dễ dàng nhận diện và giải chúng nhanh nhất, các em cần nắm vững lý thuyết và phương pháp giải của từng dạng. Dưới đây, VUIHOC đã tổng hợp cho các em các dạng bài tập hàm số mũ và logarit đi kèm ví dụ minh hoạ và bài tập áp dụng. Các em lưu ý đọc kỹ ví dụ để nắm chắc cách áp dụng trong các bài tập hàm số mũ và logarit thực tế nhé!

2.1. Dạng bài tập hàm số mũ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Đây là dạng cơ bản và rất dễ xuất hiện trong các câu trắc nghiệm bài tập hàm số mũ và logarit thuộc đề thi đại học. Để làm được các bài toán tìm hàm số mũ có đồ thị cho trước, ta thực hiện theo 2 bước sau:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận

Các em cùng xét ví dụ sau đây:

Giải:

• Đồ thị hàm số nghịch biến $(0<a<1)$, suy ra loại C,D

• Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1;3)$, suy ra loại B

• Chọn đáp án A

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

Đây là dạng toán bài tập hàm số mũ và logarit ở mức vận dụng, yêu cầu các em học sinh trước tiên cần nắm vững cách khảo sát đồ thị hàm số mũ và logarit cùng các tính chất. 

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Ví dụ: Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y=a^x$, $y=b^x$, $y=c^x$ được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ trong tổng hợp các bài tập hàm số mũ và logarit, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương để áp dụng giải bài toán. Cụ thể, các em thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Chúng ta cùng xét ví dụ đạo hàm hàm số mũ sau:

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số

Ở dạng này, các em áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Ví dụ minh hoạ sau sẽ giúp em hiểu cách biến đổi khi giải bài toán giới hạn của hàm số mũ:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Đây là dạng toán thường xuất hiện trong các câu hỏi phương trình hàm số mũ, bất phương trình hàm số mũ vận dụng - vận dụng cao của các đề thi. Để làm được các bài tập dạng này, các em cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

• Bước 1: tính $y’$, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,... ,$x_n$ thuộc $[a;b]$ của phương trình $y’=0$

• Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,... ,$f(x_n)$

• Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số

  • GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được

  • GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được

Các em cùng xét ví dụ minh hoạ về bài tập hàm số mũ sau:

2.2. Dạng bài tập hàm số logarit

Dạng 1: Bài tập hàm số mũ và logarit - ví dụ bài tập GTLN GTNN

Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:

+ Hàm số $y=a^x$ cần điều kiện là a là số thực dương và a khác 1.

+ Hàm số $y=log_ax$  cần điều kiện:

• Số thực $a$ dương và khác 1.

• $x>0$

Ví dụ minh hoạ:

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán. 

Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

3. Bài tập áp dụng

Giải nhanh các dạng bài tập hàm số mũ và logarit không hề đơn giản, cần chúng ta phải luyện tập thật nhiều. Vì vậy, VUIHOC gửi tặng riêng cho em full bộ bài tập hàm số mũ và logarit đi kèm giải chi tiết rất hay dành cho việc ôn tập hằng ngày. Các em nhớ tải về nhé!

Tải xuống bài tập hàm số mũ và logarit đầy đủ có đáp án 

Trên đây là toàn bộ lý thuyết chung và đầy đủ các dạng bài tập hàm số mũ và logarit cơ bản. Chúc các em học tốt và đạt điểm cao nhé!