Luỹ thừa cùng cơ số, đầy đủ lý thuyết và bài tập

Trước khi đi vào chi tiết, các em cùng theo dõi bảng sau để nắm được độ khó của các bài tập luỹ thừa cùng cơ số trong đề thi THPT Quốc gia dự kiến:

Giúp các em dễ dàng hơn trong ôn tập, thầy cô trường VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa và luỹ thừa cùng cơ số chọn lọc và đầy đủ. Các em tải về theo link dưới đây:

>>>Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa và luỹ thừa cùng cơ số bản đầy đủ<<<

1. Tổng hợp lý thuyết chung về luỹ thừa

1.1. Định nghĩa

Lũy thừa là gì?

Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần. 

Luỹ thừa ký hiệu là a^b và được đọc là lũy thừa bậc b của a hay a mũ b

Cơ số là gì?

Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.

1.2. Phân loại luỹ thừa

Như chương trình THPT đã được học về luỹ thừa cùng cơ số, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Các em cần lưu ý các tính chất của riêng từng dạng để áp dụng vào các bài tập cụ thể.

Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a^0$ thì $a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\geq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

Cho a,b > 0; x,y  R ta sẽ có:

1. a^x.a^y = a^{x + y}

2. a^x : a^y = a^{x - y}

3. (a^x)^y = a^x.y

4. (ab)^x = a^xb^x

5. 

6. 

7. a^x = a^y  x = y (a  1)

8. Với a > 1 thì a^x > a^y  x > y, với 0 < x < 1 thì a^x > a^y  x < y

9. Với 0 < a < b với m là số nguyên dương thì a^m < b^m, nếu m la số nguyên âm thì a^m > b^m

Đăng ký ngay để được thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ

1.3. Tính chất và các công thức luỹ thừa cơ bản

Trước khi xét đến các bài tập luỹ thừa cùng cơ số, ta cần nắm vững các tính chất cơ bản của luỹ thừa trước để có nền tảng trong quá trình biến đổi luỹ thừa cùng cơ số khi làm bài tập. Ta xét các tính chất luỹ thừa cơ bản như sau:

Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

a) a^m.aⁿ = a^m+n

b) 

​​​c) 

d) (a.b)^m = a^m . b^m

e) 

Tính chất về bất đẳng thức: 

So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:

• Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
• Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$

So sánh cùng số mũ:

• Với số mũ dương $n>0: a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$
• Với số mũ âm $n<0: a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

Dưới đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em biến đổi luỹ thừa cùng cơ số:

Ngoài ra còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:

• Luỹ thừa của số e:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$ 

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hàm ngược của hàm $e^x$. Theo đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

Nếu $a$ là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$

2. Luỹ thừa cùng cơ số

2.1 Định nghĩa chung

Luỹ thừa cùng cơ số hiểu đơn giản là các luỹ thừa $a^x$ có phần cơ số a là một số thực hoặc biểu thức giống nhau.

2.2. Các công thức phép tính luỹ thừa cùng cơ số

• Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

$a^m.a^n=a^{m+n}$

• Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

$a^m:a^n=a^{m-n}$ (a ≠ 0, m ≥ 0)

3. Bài tập luyện tập luỹ thừa cùng cơ số

Để nhận dạng và giải nhanh các bài tập luỹ thừa cùng cơ số cơ bản, các em đừng quên tải file tổng hợp bài tập dưới đây của các thầy cô VUIHOC biên soạn nhé!

>>>Tải xuống file tổng hợp bài tập luỹ thừa cùng cơ số có giải chi tiết<<<

Ngoài ra, các em đừng bỏ qua bài giảng về luỹ thừa của thầy Thành Đức Trung - chuyên gia luyện đề toán lớp 12 - để không lỡ những mẹo giải nhanh, phương pháp giải luỹ thừa cùng cơ số rất thú vị nhé! 

Nhận ngay bí kíp nắm trọn mọi dạng bài tập Toán thi THTP Quốc Gia

VUIHOC vừa tổng hợp cho các em toàn bộ lý thuyết về luỹ thừa cùng với cách giải bài tập luỹ thừa cùng cơ số. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em có thêm những kiến thức bổ ích, dễ dàng giải quyết các dàng bài chuyên đề này trong chương trình Toán 12 cũng như phục vụ trong quá trình ôn thi Toán tốt nghiệp THPT. Chúc các em đạt được kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>>>Bài viết tham khảo:

Lũy thừa của lũy thừa là gì

Tổng hợp các công thức lũy thừa

Giải nhanh so sánh luỹ thừa

Bí kíp giải mọi bài tập về luỹ thừa siêu nhanh