Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12

1. Hệ tọa độ trong không gian 

- Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi  $\large \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy và Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 

- Nhận xét:

+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

+ Vì $\large \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có:  $\large \overrightarrow{i}^{2}=\overrightarrow{j}^{2}=\overrightarrow{k}^{2}$ và  $\large \overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$. 

2. Tọa độ của điểm và vectơ

2.1 Tọa độ của điểm

- Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu $\large\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M(x;y;z) trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. 

2.2 Tọa độ của vectơ

- Trong không gian Oxyz cho vectơ  $\large\overrightarrow{a}$. Nếu  $\large\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số (a₁;a₂;a₃) là tọa độ của vectơ $\large\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz và viết  $\large\overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ hoặc  $\large\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$

- Nhận xét: Trong không gian Oxyz, ta có: 

+ Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ  $\large\overrightarrow{OM}$, tức là

 $\large M=(x;y;z)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x;y;z)$

+ Điều kiện để hai vectơ bằng nhau: Cho  $\large \overrightarrow{a}=(x;y;z),\overrightarrow{b}=(x';y';z')$. Khi đó: 

 $\large \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=x' \\
 y=y'\\
z=z'\\
\end{matrix}\right.$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp nhất với bản thân

3. Bài tập tọa độ của vectơ toán 12

3.1 Bài tập tọa độ của vectơ toán 12 kết nối tri thức

Bài 2.13 trang 64 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Đáp án: Cả 4 đáp án trên đều đúng

Bài 2.14 trang 64 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Hình vẽ phù hợp là: 

Bài 2.15 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

 $\large a)\overrightarrow{AB}=(4;2;-5)$

 $\large b)\overrightarrow{AB}=(0;0;0)$

 $\large c)\overrightarrow{AB}=(-10;3;-7)$

Bài 2.16 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) A(0; 0; 0).

b) A nằm trên tia Ox và OA = 2 nên  $\large \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}$ . Suy ra A(2; 0; 0).

c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 3 nên  $\large \overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{j}$ . Suy ra A(0; −3; 0).

Bài 2.17 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Đỉnh A trùng với gốc tọa độ nên A(0; 0; 0).

Ta có D(2; 0; 0) nên  $\large \overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{i}$ ; B(0; 4; 0) nên  $\large \overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{j}$ ; A'(0; 0; 3) nên  $\large \overrightarrow{OA'}=3\overrightarrow{k}$

Theo quy tắc hình hộp, ta có:  $\large \overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$

Do đó C'(2; 4; 3).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:  $\large \overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{k}$

Do đó D'(2; 0; 3).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:  $\large \overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA'}=4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$

Do đó B'(0; 4; 3).

Bài 2.18 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Bài 2.19 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Khi máy bay di chuyển trên đường băng tức là máy bay di chuyển ở trên mặt đất,tức là thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó máy bay khi di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 12 chương trình mới đầy đủ, chi tiết

3.2 Bài tập tọa độ của vectơ toán 12 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

 $\large a) \overrightarrow{a}=(5;7;-3),\overrightarrow{b}=(2;0;4)$

 $\large b) M=(4;-1;3),N=(8;-5;0)$

Bài 2 trang 56 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

 $\large a)\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$

 $\large b) A(7;-2;1)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=7\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},B(0;5;0)\Rightarrow \overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{j}$

Bài 3 trang 56 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a)

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\large \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ với độ dài của $\large \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt bằng 1/3 BC; 1/2 BA; 1/2 SA.

b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).

Vì  $\large \overrightarrow{j}$ và  $\large \overrightarrow{BA}$ cùng hướng và BA = 2 nên  $\large \overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{j}$. Suy ra A(0; 2; 0).

Vì $\large \overrightarrow{i}$và  $\large \overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BC = 3 nên $\large \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{i}$. Suy ra C(3; 0; 0).

Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.

Ta có BE = AS = 2.

Vì $\large \overrightarrow{k}$ và $\large \overrightarrow{BE}$ cùng hướng và BE = 2 nên $\large \overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

 $\large \overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ => S(0;2;2).

Bài 4 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là  $\large \overrightarrow{i}=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OE},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{OH}$ với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì ∆ABC đều và AO ⊥ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và OA =  $\large \sqrt{3}$.

Vì  $\large \overrightarrow{OB}$ và  $\large \overrightarrow{i}$ ngược hướng và OB = 1 nên  $\large \overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}$ => B(−1; 0; 0).

Vì $\large \overrightarrow{OC}$ và $\large \overrightarrow{i}$ cùng hướng và OC = 1 nên $\large \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{i}$ => C(1; 0; 0).

Vì $\large \overrightarrow{OA}$ và $\large \overrightarrow{j}$ cùng hướng và OA= $\large \sqrt{3}$ nên $\large \overrightarrow{OA}= \sqrt{3} \overrightarrow{j}$. => A(0;$\large \sqrt{3}$;0).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có  $\large \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OH}=\sqrt{3}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ =>  S(0;$\large \sqrt{3}$;1). 

Bài 5 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét ∆OAB vuông tại O, có  $\large OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{25-16}=3$

Bài 6 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Vì  $\large \overrightarrow{OA}$ và  $\large \overrightarrow{k}$ cùng hướng và OA = 10 nên  $\large \overrightarrow{OA}=10\overrightarrow{k}$.

Xét ∆OBH vuông tại H, có BH = OB.sin30° = 7,5 m.

 $\large OH=OBcos30^{o}=\frac{15\sqrt{3}}{2}m$

Vì $\large \overrightarrow{OH}$ và $\large \overrightarrow{j}$ cùng hướng và  $\large OH=\frac{15\sqrt{3}}{2}$ nên  $\large \overrightarrow{OH}=\frac{15\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}$

Có BH = OK = 7,5.

Bài 7 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Giả sử M(x; y; z).

H ∈ (Oxy) ⇒ H(x; y; 0).

Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.

Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.

Xét ∆MHO vuông tại H, có OH = OM.cos48° = 50. cos48° ≈ 33,46.

MH = OM.sin48° = 50. sin48° ≈ 37,16.

Xét ∆OAH vuông tại A, có BH = OA = OH.cos64° = 33,46. cos64° ≈ 14,67.

Xét ∆OBH vuông tại B, có:  $\large OB=\sqrt{OH^{2}-BH^{2}}=\sqrt{33,46^{2}-14,46^{2}}\approx 30,07$

Vì $\large \overrightarrow{OA}$ và $\large \overrightarrow{i}$ cùng hướng và OA = 14,67 nên $\large \overrightarrow{OA}=14,67 \overrightarrow{i}$ .

Vì $\large \overrightarrow{OB}$ và $\large \overrightarrow{j}$ cùng hướng và OB = 30,07 nên  $\large \overrightarrow{OB}=30,07 \overrightarrow{j}$ .

Vì $\large \overrightarrow{OC}$ và $\large \overrightarrow{k}$ cùng hướng và OC = 37,16 nên  $\large \overrightarrow{OC}=37,16 \overrightarrow{k}$ .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

Vậy M(14,67; 30,07; 27,16).

3.3 Bài tập tọa độ của vectơ toán 12 cánh diều

Bài 1 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: A

Ta có A(1; 2; 3). Do đó,  $\large \overrightarrow{OA}=(1;2;3)$

Bài 2 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: B

Vì  $\large \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ mà  $\large \overrightarrow{u}=(-1;4;2)$, do đó  $\large \overrightarrow{OA}=(-1;4;2)$

Từ đó suy ra A(– 1; 4; 2).

Bài 3 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: A

Ta có:  $\large \overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}=(-2)\overrightarrow{i}+(-1)\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$

Do đó:  $\large \overrightarrow{u}=(-2;-1;3)$

Bài 4 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: B

Với A(1; – 1; 2) và B(4; – 3; 1), ta có

 $\large \overrightarrow{AB}$ = (4 – 1; – 3 – (– 1); 1 – 2) = (3; – 2; – 1).

Bài 5 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C), ta có $\large \overrightarrow{AC}$ = (x_C – 1; y_C – 1; z_C – 1). 

Với  $\large \overrightarrow{u}=(4;2;3)$ thì ta có  $\large \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{u}$

 $\large \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{c}-1=4 \\
 y_{c}-1=2\\
 z_{c}-1=3\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{c}=5 \\
 y_{c}=3\\
 z_{c}=4\\
\end{matrix}\right.$

Vậy C(5; 3; 4).

Bài 6 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Gọi A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và A₃(x₃; y₃; z₃).

Với A(3; – 2; – 1), đặt x_A = 3, y_A = – 2, z_A = – 1. Ta có:

+ x₁ = x_A = 3; y₁ = y_A = – 2; z₁ = 0 (vì A­₁ nằm trên mặt phẳng (Oxy)).

Do đó A₁(3; – 2; 0).

+ y₂ = y_A = – 2; z₂ = z_A = – 1; x₂ = 0 (vì A₂ nằm trên mặt phẳng (Oyz)).

Do đó A₂(0; – 2; – 1).

+ x₃ = x_A = 3; z₃ = z_A = – 1; y₃ = 0 (vì A₃ nằm trên mặt phẳng (Ozx)).

Do đó A₃(3; 0; – 1).

Bài 7 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Gọi H(x₁; y₁; z₁), K(x₂; y₂; z₂) và P(x₃; y₃; z₃).

Với A(– 2; 3; 4), đặt x_A = – 2, y_A = 3, z_A = 4. Ta có:

+ x₁ = x_A = – 2; y₁ = 0; z₁ = 0 (vì H nằm trên trục Ox). Do đó H(– 2; 0; 0).

+ y₂ = y_A = 3; x₂ = 0; z₂ = 0 (vì K nằm trên trục Oy). Do đó K(0; 3; 0).

+ z₃ = z_A = 4; x₃ = 0; y₃ = 0 (vì P nằm trên trục Oz). Do đó P(0; 0; 4).

Bài 8 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Ta có  $\large \overrightarrow{AB}=(5-4;7-6;-4-(-5))=(1;1;1)$.

Gọi tọa độ của điểm D là (x_D; y_D; z_D), ta có  $\large \overrightarrow{AB}$ = (5 – x_D; 6 – y_D; – 4 – z_D).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành.

Do đó  $\large \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 

 $\large \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
1=5-x_{D} \\
 1=6-y_{D}\\
1=-4-z_{D} \\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{D}=4 \\
y_{D}=5 \\
z_{D}=-5 \\
\end{matrix}\right.$

Khi đó, D(4; 5; – 5).

Ta có $\large \overrightarrow{DD'}$  = (2 – 4; 0 – 5; 2 – (– 5)) = (– 2; – 5; 7).

Gọi tọa độ của điểm A' là (x_A'; y_A'; z_A'), ta có $\large \overrightarrow{AA'}$  = (x_A' – 4; y_A' – 6; z_A' – (– 5)).

Suy ra C'(3; 1; 3).

Vậy D(4; 5; – 5), A'(2; 1; 2), B'(3; 2; 3), C'(3; 1; 3).

Bài 9 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Gọi M₁, N₁, P₁, K lần lượt là hình chiếu của M, N, P, K₀ lên mặt phẳng (Oxy).

Ta thấy MNPQ.M₁N₁P₁O là hình hộp chữ nhật.

Gọi K' là giao hai đường chéo MP và NQ. Khi đó K'Q = K'P = K'N = K'M.

Vì K₀M = K₀N = K₀P = K₀Q và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm K₀ xuống điểm K₁ nên các điểm K', K₀, K₁, K thẳng hàng.

Khi đó, các điểm K', K₀, K₁, K có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Theo bài ra, cao độ của K₀ và K₁ lần lượt là 25 và 19.

Giả sử K₀(x; y; 25) và K₁(x; y; 19).

Ta có MNPQ.M₁N₁P₁O là hình hộp chữ nhật nên K'K = OQ, suy ra cao độ của K' bằng 30. Do đó, K' (x; y; 30).

Ta có:  $\large \overrightarrow{K'Q}=(-x;-y;0),\overrightarrow{NK'}=(x-90;y-120;0)$

Vì K' là giao hai đường chéo của hình chữ nhật MMPQ nên K' là trung điểm của NQ.

 $\large \Rightarrow \overrightarrow{K'Q}=\overrightarrow{NK'}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
-x=x-90 \\
 -y=y-120\\
0=0 \\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=45 \\
 y=60\\
\end{matrix}\right.$

Do vậy, K₀(45; 60; 25), K₁(45; 60; 19) và  $\large \overrightarrow{K_{o}K_{1}}=(0;0;-6)$

Trên đây là Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12. Qua bài học, các em nắm được cách xác định tọa độ của vectơ để áp dụng giải các bài tập liên quan. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé! 

>> Mời bạn tham khảo thêm: Lý thuyết vectơ trong không gian toán 12