Bứt phá mọi bài tập phương trình mũ nâng cao

Trước khi đi vào chi tiết bài viết, các thầy cô nhận định về dạng bài tập phương trình mũ nâng cao trong bảng sau đây:

Để tiện cho việc ôn tập, thầy cô VUIHOC gửi tặng em file tổng hợp lý thuyết về phương trình mũ - phương trình mũ nâng cao tại link sau đây. Các em nhớ tải về nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình mũ nâng cao

1. Ôn tập lý thuyết tổng hợp về phương trình mũ

1.1. Định nghĩa phương trình mũ - nền tảng của phương trình mũ nâng cao

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. Các phương trình mũ nâng cao đều có nguồn gốc căn bản từ phương trình mũ cơ bản. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung về phương trình mũ cơ bản như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

1.2. Các công thức áp dụng giải phương trình mũ nâng cao

Để giải được bài toán phương trình mũ nâng cao, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải được phương trình mũ nâng cao. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

2. Các dạng bài tập phương trình mũ nâng cao

2.1. Tổng hợp các dạng bài tập phương trình mũ cơ bản - nền tảng xây dựng cách giải phương trình mũ nâng cao

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số

Ở dạng toán áp dụng giải phương trình mũ nâng cao này, ta cần biến đổi theo công thức sau để đưa về cùng cơ số:

  Với $a>0$ và a ≠ 1 ta có  $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$.

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Đây là một phương pháp thường được sử dụng để giải toán phương trình mũ nâng cao thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng phương pháp này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
• Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện
• Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
• Bước 5: Kết luận

Các phép ẩn phụ thường gặp như sau:

Trường hợp 1: Các số hạng trong phương trình mũ nâng cao có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$

Lưu ý trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Trường hợp 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc n đối với $a^{nf(x)}$ và  $b^{nf(x)}$

Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $a^{nf(x)}$ hoặc $b^{nf(x)}$ với $n$ là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Trường hợp 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

• Loại 1: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f(x)}\Rightarrow b^{f(x)}=\frac{1}{t}$

• Loại 2: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=c^2$

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f(x)}$ và đưa về dạng 1.

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa

Dấu hiệu nhận biết bài toán phương trình mũ nâng cao áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng $a^{f(x)}.b^{g(x)}.c^{h(x)}=d$ (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau). Khi đó, các em có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số $a$ (hoặc $b$, hoặc $c$).

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Để sử dụng tính đơn điệu giải các bài tập phương trình mũ nâng cao, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:

• Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x (0<a\neq 1)$ là $\mathbb{R}$.

• Chiều biến thiên:

  • $a>1$: Hàm số luôn đồng biến

  • $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến

• Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là đường tiệm cận ngang

• Đồ thị: Đi qua điểm $(0;1), (1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

Để giải phương trình mũ nói chung và phương trình mũ nâng cao theo phương pháp này, ta cần làm theo các bước sau đây:

Hướng 1:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(x)=k$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $D$. Khẳng định hàm số đơn điệu

• Bước 3: Nhận xét:

+ Với $x=x_0$ ⇔ $f(x)=f(x_0)=k$ do đó x=x_0 là nghiệm.

+ Với $x>x_0$ ⇔ $f(x)>f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

+ Với $x<x_0$ ⇔ $f(x)<f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

• Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(x)=g(x)$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$. Khẳng định hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng biến còn $y=g(x)$ là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

• Bước 3: Xác định $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$

• Bước 4: Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3: Khi đó $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$

Dạng 5: Phương pháp giải phương trình mũ cơ bản có chứa tham số

Để giải các phương trình mũ nâng cao có tham số, các em cần cô lập tham số m. Nếu không thể cô lập, ta cần sử dụng các phương pháp như đặt ẩn phụ, dùng bảng biến thiên biện luận hàm số mũ,... để xử lý bài toán tham số.

2.2. Ví dụ minh hoạ các dạng bài tập phương trình mũ nâng cao

Để rõ hơn về cách phối hợp các phương pháp giải phương trình mũ cơ bản tại phần 2.1 áp dụng nhằm xử lý phương trình mũ nâng cao, các em cùng đọc những ví dụ sau đây nhé!

3. Bài tập luyện tập phương trình mũ nâng cao

Để luyện tập nhận diện bài toán phương trình mũ nâng cao và tìm được hướng giải nhanh nhất, các em cần kết hợp các phương pháp giải phương trình mũ cơ bản. Dưới đây là link tổng hợp tất cả các dạng bài tập phương trình mũ nâng cao hay xuất hiện trong các đề luyện thi và thi thử đại học. Các em nhớ lưu về nhé!

Tải xuống file bài tâp phương trình mũ nâng cao (có giải chi tiết)

Phương trình mũ nâng cao là các câu hỏi kiếm điểm trong đề thi Đại học nếu các em đặt mục tiêu điểm 8+. Chúc các em chinh phục dễ dàng mọi bài tập phương trình mũ nâng cao nhé!