img
Thông báo
Sắp bắt đầu năm học mới, lớp hiện tại của bạn đang là lớp {{gradeId}}, bạn có muốn thay đổi lớp không?

Bất Phương Trình Chứa Căn Lớp 10: Công Thức Và Cách Giải

Tác giả Cô Hiền Trần 17:40 30/03/2022 7,227

Bất phương trình chứa căn là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và giải bất phương trình chứa căn lớp 10 qua bài viết sau đây.

Bất Phương Trình Chứa Căn Lớp 10: Công Thức Và Cách Giải

1. Các công thức giải bất phương trình chứa căn

Ta có công thức giải bất phương trình chứa căn như sau:

Công thức 1: 

$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)\geq 0 \\f(x) < g^{2}(x) \end{matrix}\right.$

Hoặc nếu có dấu bằng thì ta có:

$\sqrt{f(x)} \leq  g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)\geq 0 \\f(x) \leq  g^{2}(x) \end{matrix}\right.$

Ví dụ: Giải bất phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

Giải:

ĐK: $x\geq 0; y\geq 1; z\geq 2$

Phương trình tương đương:

Giải bài tập bất phương trình chứa căn dạng 1

Công thức 2:

Công thức 2 - bất phương trình chứa căn

Hoặc trường hợp có thêm dấu bằng thì ta có:

Công thức 2 bất phương trình chứa căn 

Ví dụ: Giải bất phương trình: $x^{2}+9x+20=2\sqrt{3x+10}$

ĐK: x$ \frac{-10}{3}$

Giải bài tập bất phương trình chứa căn dạng 2

=> Nghiệm của bất phương trình x= -3

2. Một số cách giải chi tiết bất phương trình chứa căn bậc hai

2.1. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 

$\sqrt{x^{2}-x-12}=7-x$

Giải:

Giải bài tập phương trình chứa căn thức cơ bản

$\Rightarrow$ Nghiệm của phương trình là: $x=\frac{61}{13}$

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau: $\sqrt{x-3}<2x-1$

Giải:

Giải bài tập bất phương trình chứa căn thức cơ bản

$\Rightarrow$ Nghiệm của bất phương trình $S=[3,\infty)$

2.2. Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

Sử dụng phương pháp đặt phụ ta quy phương trình căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức. Ta có ví dụ sau đây:

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x+3}=\sqrt[3]{2x+1}$ (1)

Giải:

Giải bài quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

Vậy (1) có các nghiệm $x=2; x=-3; x=\frac{-1}{2}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Giải:

Giải bài tập quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

2.3. Sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quả

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$ (1)

Giải:

Giải bất phương trình chứa căn sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quả

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$ (1)

Giải:

Đặt $u=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\geq 1$

Ta có $\Leftrightarrow u^{2}=3x+4+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ với $u\geq 1$ (2)

Thay (1) vào (2) ta có phương trình hệ quả sau:

$u^{2}-20=u\Leftrightarrow u^{2}-u-20=0$

$\Leftrightarrow u=5$ hoặc $u=-4 \Leftrightarrow u=5$ (do $u\geq 0$)

Từ (1) dẫn đến phương trình hệ quả:

Giải bất phương trình chứa căn sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quả

Ta thay x = 3 vào (1) sẽ có kết quả đúng nên (1) sẽ có nghiệm x = 3

2.4. Sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $x^{5}+x^{3}-\sqrt{1-3x}+4=0$ (1)

Giải:

Đặt $f(x)=x^{5}+x^{3}-\sqrt{1-3x}+4$ với $x\leq \frac{1}{3}$

Khi đó (1) có dạng f(x) = 0 và miền xác định $x\leq \frac{1}{3}$

Ta có $f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}}>0\,  \forall \, x \leq \frac{1}{3}$

Vậy f(x) chính là hàm số đồng biến khi $x<\frac{1}{3}$

Ta có $f'(-1)=0$ vậy $x=-1$ là nghiệm duy nhất của (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+15}=3x-2+\sqrt{x^{2}+8}$ (1)

Giải:

Ta viết (1) dưới dạng $f(x)=3x-2+\sqrt{x^{2}+8}-\sqrt{x^{2}+15}=0$ (2)

Hàm số f(x) xác định với $\forall x \epsilon R$. Xét phương trình với 2 khả năng sau:

Giải bài tập bất phương trình sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số

$\Rightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất của (1)

2.5. Phương pháp đánh giá hai vế

Với phương trình $f(x)=g(x), x\in D$ ta có tính chất:

$f(x)\geq A \, \forall \, x \in D$ hoặc $g(x)\geq A \, \forall \, x \in D$

Khi đó: $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x)=A$ hoặc $g(x)=A$

Để bất đẳng thức $f(x)\geq A; g(x)\leq A; \forall x \in A$ ta áp dụng các kiến thức về bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6x+11$ (1)

Giải:

Ta có miền xác định (1) là $D=\left \{ {x:2\leq x \leq 4} \right \}$

Ta có $x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}+2\geq  2, \forall x \epsilon D$ thì $f^{2}(x)=2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}\leq 2+[(x-2)+(4-x)]=4$

Do đó $f(x)\geq 0$ khi $\forall x \in D \Rightarrow f(x)\leq 2 \, \forall x\, \in D$

$\Rightarrow x^{2}-6x+11=2\Leftrightarrow x=3$  

Hoặc $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\Leftrightarrow x-2=4-x \Leftrightarrow x=3$

$\Rightarrow x=3$ nghiệm duy nhất của (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình: 

$\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

Giải bất phương trình chứa căn bằng phương pháp đánh giá hai vế

2.6. Bất phương trình chứa căn thức có tham số

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{x-4a+16}+2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$

Giải:

Giải bài tập bất phương trình chứa căn thức có tham số

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: 

$\sqrt{x^{2}+x+\frac{m^{2}}{(x-1)^{2}}=x-\frac{m}{x-1}}$ (1)

Giải:

Giải bài tập bất phương trình chứa căn thức có tham số

 

Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về bất phương trình chứa căn lớp 10, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Ngoài ra để luyện tập thêm các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}
Hotline: 0987810990